Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
VÄG. OCH VATTENBYGGNADSKONST SAMT HUSBYGGNADSTEKNIK
I denna ekvation ansattes serien ß = 2 an z". Ge-
n = o
»o
nom iakttagandet av gränsvillkoret att — = 0 för
CL Z
z = 0...................................... (12)
erhålles koefficienten at i denna ansatta serie = 0.
Genom ansättning av serien i ekv. (11) kunna alla
koefficienter an uttryckas i a0 och a.,. Dessa värden
d2ß
på an insättas i uttrycken för ß och , ,
dz
erhållna
ur serieansättningen, i de två återstående
gränsvillkoren, som lyda:
ß = 0 för s = ~ ............... (13)
d2ß ~ . I
~ = 0 för 2 =
d z2 2
■ 0 = a0 + 0 ^
0 = 0-j-0 + 2a2
n = i
C—lkflY
(2)
m
med
och
T =
-1 n -
■Ik
m
2 k
n — 5
1
n(n —
n — 3
1) (2) T"-2~
:~2)ü Tn~3
C-Zfc
Kn = ~
m (n
2 k
+
m n[n— 1 )(n ■
-2)(« —Sjü Rn -2 +
4) (2)
men löses liksom liknande fall enklast genom
variationskalkyl.
Först uppställas uttrycken för de yttre och inre
arbetena vid vippningen.
a. Yttre arbete.
Mittlinjen av balken antages på stycket dz ligga i
ett plan, bildande vinkeln ß med horisontalplanet och
man söker värdet av den vertikala komposanten d 6P
av den kurva som den rörliga skärningspunkten
>’SP
... (14)
Härigenom erhållas följande två homogena, linjära
ekvationer för bestämning av a0 och a2.
n\ 2 k «=co
— y +3TF^-o + ^dS)
, k l
+ m’ 2’00
n—00
(16)
Fig. 5.
mellan tangenten till kurvan i punkten 2 och ett
vertikalplan, vinkelrätt mot s-axeln genom ena lagret
bildar, då tangeringspunkten glider efter kurvan från
z till z — dz. Genom summering av dessa tillskott
erhålles uppenbarligen nedböjningen i mitten.
Man erhåller
ddp
varur genom summering
Hi
öP=-(ß
d2u [l
I–;
j>s(i-)
z]dz
(18)
h
m [n — 2) (w -
Ekvationssystemet (15) — (16) har förutom den
triviala lösningen a0 == a2 — 0 lösningar endast för
de fall, då den determinant som bildas av
koefficienterna för a0 (AoI) och a% (A$j) i ekv. (15) och för a0 (A0n)
och a2 (A 211) i ekv. (16) är = 0. Alltså gäller
AoI-Ain—AtI-AoII=0.......... (17)
Eftersom ekv. (17) anger villkoret för att
differentialekvationen (11) skall ha en från den triviala
O-lösningen skild lösning ger den vippningslasten, varvid
bör märkas att det är det minsta av de värden på P
vilka satisfiera ekv. (17) som är det kritiska.
Metod 2 a. Uppställning av vippningsekvationen genom
användande av energibetraktelser.
Den grundläggande principen vid denna metod är,
att labilt tillstånd inträder, när vippningskraften
uppnått en sådan storlek, att vid vridning en liten vinkel
ß förlusten av vippningskraftens potentiella energi är
— vinsten av potentiell inre energi hos balken. Härvid
är ß och därigenom även u den funktion av z, som
vid last < vippningslasten och påtvingad utböjning
ger minsta skillnaden mellan vinst av inre potentiell
energi och förlust av yttre potentiell energi. När
lasten växer och blir s= vippningslasten gäller
fortfarande minimivillkoret, varför balken vid vippningen
inställer sig på ett sådant sätt att man erhåller
minsta möjliga vippningskraften. Detta exempel på
de inom naturen rikt representerade extremalproble-
Då i detta fall u=: — ß, erhålles förlusten i yttre
po-tentiell energi
A„ =
.........<«>
b. Inre arbete.
Ökningen av inre potentiella energien består i
energivinst dels av vridning och dels av
sidoutböj-ning. Med beteckningar enligt ovan erhålles
vrid-ningsarbetet
o o
och sidoutböjningsarbetet
il 2
, J r h* fd^ßx2,
o
Den inre potentiella energivinsten hos balken är
alltså
il,
A.-= [ß
............
(20)
25 jan. 1941
.3
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
