Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
Koefficienterna av a2 och a3 kunna betraktas som
integrationskonstanter. Vi kunna nu skriva integralen
av ekv. (78) som
y = a1F1 + a2F2 + a3F3........ (81)
U3 1 M6 1 U3
F 1 =
= M{1+4! + 4 7!
1
4-7 10!
+
+
4 -7.10’ 13! + +
(82 a)
1 +
5!
:3 1 U<
+
1
u
9
+
1
5- 8•11
5 8! 1 5-8 11!
M12 |
14! + + -/ -
+
(82 b)
F.
, = «»{ 1 +
2 u3
6!
2
+ 6
u°
9l
u
9
+
+ 6 - 9■12 15! + +
(82 c)
6•9 12!
\
•i"
Dessa tre funktioner äro, såsom framgår vid
jämförelse med den bekanta serien
M2 u3 ,
e»=l+u+ _ + _+ + +....
konvergenta för alla värden av u. Vi ha således
funnit tre partikulära lösningar av ekv. (78).
För att finna den fjärde partikulära integralen sätta
vi i analogi med Neumanns lösning av den Besselska
differentialekvationen
= log t
(83)
där log u — log. nat u och z en serie av samma typ
som ekv. (79). Sättes
dF , d*F
— = F’; - „ = F" osv.
du du1
blir
d4 F4
du4
6 F,
6 FJ’
u uå ul
+ F3w log u + ZW
4 F3m
u
och
d*> F. 6 Fo
u’ u
+ (mF3W- F3)logw + wZ(4)-Z = 0 ... (84)
Termen med logw försvinner, då Fs är en
parti-kulär integral av ekv. (78).
Vi sätta
Z = b0 + b3u* + b6u° + +........ (85)
och bestämma koefficienterna bn ur
_ + 8F*’ _ 6 F" + 4 F,»’ + «ZW-Z= 0 (86)
u u u
Av ekv. (82 c) följer genom derivering
6 F, 8 F,
6 Fo"
u’
+ 4 F’"3 = 6
+ 6 I Q!
9! ’ 8!
6 , 4
Yl + "6
J
2
a TV
6
12!
Sättes: c„ = 6
11
10! + 9
J
u3 +
+ +
C3 = [-l[-= -2 T-
6- 9 L
9! + 8! 7!
6
9l
6
12!
+
r]
—-—■+-1
11! 10! 9 |J
och bestämmes med tillhjälp av ekv. (85)
mZ«— Z:= — b0 -f (6 • 5 • 4 • 3 ö6— b3) u3
-f–f- (9 • 8 • 7 • 6 ö9 — &6) M6 +
(12 • 11 • 10 • 9 b12 — b„) u9 + +...
så följer av ekv. (86)
(c„-ö„)+(c3 + 6-5-4-3&6-&3)M3 +
+ (c6 + 9-8-7-6&9-&6)m6 + + ... = 0
Denna ekvation måste satisfieras av alla värden på
u således
co—bo—0
c3 + 6 • 5 • 4 • 3 b6 — b3 = 0
c6 + 9 • 8 • 7 • 6 ö9 — bs — 0
osv.
och
Z= c„
6-5.4.3^9 •
; ■ 7 • 6
+ +
6-5.4.3
6.5.4.3.9.8.7.6
Uttrycket inom den raka parentesen är lika med F3
och kan här försummas: z förenklas således till:
Z=c„—-
.5.4.3
6.5.4.3.9.8.7.6
det är lätt att inse, att denna serie är konvergent för
alla värden av u. Ekv. (83) är således en partikulär
integral av differentialekvationen (78).
Den fullständiga lösningen av ekv. (78) blir, med
hänsyn till ekv. (81):
V = aiFl + «2F2 + a3F3 + AF 4
- — ~u ..(87)
Q q
där av a2, a3 och A äro integrationskonstanter.
Integrationskonstanterna bestämmas av följande
gränsvillkor
a) Villkor i origo (upplaget)
x—0-, y — 0 och då friuppläggning antages också
d2y/du2 := 0
b) Villkor i brons mitt (x = —; u— q)
u
du
i brons mitt är av symmetriskäl — = 0 och avskär-
du
ningskraften T — 0: då T— —IE d3y/dx3— 0
dx
blir också d3yldu3 0; för x = 0 blir F.t = F2 — F31=
= 0 och Fi — oc
A blir således = 0
De övriga gränsvillkoren giva:
a,F/’ (0) + a2F.2" (0) + a3F3" (0) = 0
■a3F3’ (Q) ;=|a
osv.
■"I*- 1 I "<2
a\F 1 (9)+a 2F.2 (?)
a.F,’" (q) + a2F2"’ (q) + a3F3"’ (q)
Av ekv. (82a) och (82 b) och (82 c) följer, att för
u — 0
F" (0) = 0; F.2" (0) = 2 och Fs" (0) c= 0
Den första av ekvationerna (88) ger således a2 — 0.
Ekv. (88) förenklas till
aiFi (p)+o.Fs’ (Q) = Pqh
a1Fi" (fi) + a3F3"’ (p) = 0
130
27 sept. 1941
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
