Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 34. 22 aug. 1942 - Ett fall av deformation i halvoändligt elastiskt medium, av C. Walén
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
skrivna randvärdena därför framställas med ekv. (1)
och (2) såsom utan vidare givna.
Första steget är bestämningen av † {oc) av ekv. (2).
Denna utföres med hjälp av Hankels integralteorem
för ordningen noll, enligt vilket
00 00
j oc J0(oc r) d oc u (g) J0(oc g)d o = u (r)
o o
vilket vid jämförelse med (2) ger
00
f(oc) = oc Jg u (g) J0 (ocg]dg
o
Här insättes
= 0
g> a
motsvarande den grunda fördjupningens sfäriska
form. Denna funktion fyller med sitt begränsade
existensområde och belopp villkoret för Hankels
teo-rems tillämplighet. Integration ger
2A
f (oc) = —— 72 (a a)
Sålunda är
o (r) = o,
E A
I
l = a
(1 — a
00
J J% (oc a) J0 (oc r) d
(3)
varmed problemets lösning är principiellt färdig
ehuru i för numeriska beräkningar olämplig form.
Integralen i andra membrum skall nu solveras.
För ändamålet införes den Besselska
definitionslikheten
71
= ^ J
eos (oc a sin cp — 2cp)dcp
i integralen (3), cosinusuttrycket utvecklas och
integrationsordningen omkastas, vilket är möjligt på
grund av integrandens med hjälp av uttrycken (4)
nedan insedda likformiga konvergens för r ‡ a.
Därav följer
I = — j c,os2<pd<p \J0(ocr) cos^ " q>)d oc -j-
sin 2 cp d (p (J0(ocr) sin (oc a sin cp)d oc
Emellertid gäller för positiva r, a och sin <p
J 0(ocr)cos(oca sincp]d ocz
]Jr2—a2 sin2 cp
= O
<J
i
J0(a;r)sin((X« sinq9)da =
r> a sin cp
r< a sin cp
r<asin<p
V^a2sin299—r2
O r>asin99
Dessa formler följa (efter speciella
konvergensbetraktelser) direkt av det Fourierska
integralteo-remet, om definitionslikheten för J0 införes under
integralen. De återfinnas i litteraturen, bl. a. i
Frank-Mises citerade arbete, och betraktas därför
här såsom kända.
Med införande av dessa uttryck erhålles
a;
+
]eos
Jr2 —
eos 2 cp d cp
n — arc sm
— arc sin
+ ß
71
\Jr
sin 2 cp d cp
a2 sin2 cp
\Ja2 sin2 cp — r2’
r < a
1 =
a f eos 2 cp dep
\/r2-
r> a
■ a2 sin2 cp
Integranden innehållande eos (2 <p) är symmetrisk
kring jt/2. Så är även beträffande beloppet fallet med
integranden innehållande sin (2 <p), men här sker
teckenväxling i nämnda punkt, varför integralen
ovan över denna blir noll. Hyfsning innebärande
halverande av integrationsområdet och variabelutbyte
i uttrycket avseende området r < a ger
I
nr ^(r)).
r<a
r~>a
(5)
(4)
där K ( ) och E ( ) med vedertaget beteckningssätt
(ej att förväxla med elasticitetsmodulen E, vilken
uppträder utan funktionsparentes) äro de
fullständiga elliptiska integralerna av Legendres första resp.
andra slag.
Med uttrycken (3) och (5) är det sökta
anliggnings-trycket bestämt.
Det framgår, att för r = a blir / och därmed
an-liggningstryeket oändligt. Närmar man sig r — a
inifrån skålen, gäller nämligen i första tillnärmelse
, 2 T. , 4 al
7£S- 2 — In \
TI L sju2 — r2 J
vilket går mot negativa oändligheten. Närmar man
sig r — a utifrån, gäller samma uttryck, när r skrives
för a och vice versa och detsamma multipliceras med
air.
Detta är icke fysikaliskt möjligt utan skall fattas
så, att endera det elastiska mediet eller den stela
ytan eller bådadera i brytpunkten undergå en lokal
krossning av infinitesimal utsträckning, vilken på
grund av uttryckets ovan svaga tendens mot
oändligheten ej influerar tryckförloppet i övrigt.
Funktionen (5) följer i tabellform:
r < a r/a 1
0,0 ..................................1,000
0,2 ..................................0,970
0,4 ..................................0,875
0,6 ..................................0,692
0,i8 ..................................0,355
0.9 ..................................0,040
0,95 ..................................—0,245
1,00..................................— OO
384
15 aug. 1942
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
