Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 35. 29 aug. 1942 - Problemet Sandöraset, av Ernst von Post, Arvo Ylinen, Carl Forssell, E. Nelander, Justus Österman och Ivar Häggbom
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
För att bestämma en centralt belastad strävas
knäckhållfasthet räcker det till, att vi begränsa vår
undersökning att omfatta endast de böjningar, som
uppstå i strävan, när dess jämviktsläge blir ostabilt.
Man kan antaga, utan att undersökningens
allmängiltighet lider därav, att de i det labila läget
uppträdande formförändringarna äro oändligt små i
förhållande till tvärsektionen. Härav följer, att de i
elementen v —1 och v uppträdande
sammantryckningarna £„_! och g„ skilja sig ytterst litet från
sammantryckningen ek, vilken motsvarar tryckspänningens
P P
medelvärde ok = = \)F * knäckningsögon-
blicket. Därvid beteckna F och F1 strävans och ett
elements tvärsektioner. Vi kunna därför tänka oss
storheterna och e„ i närheten av ek utvecklade
i en Taylor-serie enl. stigande potenser av skillnaden
a — ak och nöja oss med seriens lineära del
d a
-i = + 77K-1 — °t)>
Nu är
och
, dekl
E’ = ek+da{pv
— a, =
Fi
varvid eid. ekv. (4) erhålles
och
+
= e» +
v —l
E’ F,
E’ Fi
Om vi insätta dessa i ekv. (3) få vi den i formen
ds
d
i ju i c x xv 1
-,.-1,. — E,Fi }
dx.
(5)
Skjuvkraften per längdenhet i ytan mellan
elementen v — 1 och r kan skrivas
TX. v — 1,
x, v — 1, v,
(6)
där ■/. är en koefficient, som anger motståndet mot
förskjutning i ytan.
För skjuvkraften Tx , kan man härleda ett
annat uttryck på följande sätt: Yi tänka oss av
elementet v på avståndet x avskuret en liten infinitesimal del
dx. I elementets ändor verka krafterna — Sxv och
samt i sidoytorna skj uvkrafterna Tx „_i „.
• dx och —Tx v „ +1 ■ dx. Vid jämvikt mellan
krafterna erhålles
d Sxv + (Tx> - Tx> t,, + ^ dx = 0
eller
d SXI
dx
= T
X, V, V + 1 "
■ X, v — 1, v
eller
x sx, v — 1, v —
-I
dS
xp
dx
när den insattes i ekv. (6). Då detta uttryck
deri-veras med avseende till x och x betraktas som
konstant, erhålles enligt ekv. (5)
ds
X, v— 1, v
dx
s;d*sxp
L dx2 "
p = V
mxd ^,»-1— S.
E’Ii
Genom att bilda samma uttryck för undre gränsen
p = v -†-1 och subtrahera detta från (8) leder det till
differentialekvationen
d2 Sxv Sx) 2 S„ -f Sx> „ +i
dx2
E’ F1
x,
(9)
vilken bör anses som föreliggande problems
grundekvation. Den avviker från ing. Häggboms
motsvarande formel blott däri, att i stället för
elasticitetsmodulen E har satts storheten E’, vilken definierats
genom likheten (4). Härigenom är ekv. (9) giltig
både inom det elastiska och oelastiska området.
Ekvationen kan dock icke enligt min uppfattning
lösas så som ing. Häggbom gjort, utan det bör ske
på följande sätt: Yi antaga, att den i elementet v
verkan normalkraften Sxv kan framställas genom en
Fourier-serie
= «0 +
. mn
, sin -— x,
(10)
m— 1
varvid a0 och amt äro tillsvidare obestämda
konstanter och l strävans längd. Enär S„ är den av strävans
böjning förorsakade normalkraften, är i strävans
ändor S xv — 0. Då även summan i högra membrum
är noll för värdena x — 0 och x — l, följer härav, att
a0 = 0. Om vi derivera ekv. (10) två gånger med
avs. till x, erhålles
d2 S,
dx2
uj
• mn
ml amv sm —- x,
1
/«=1
som insatt i formel (9) leder till ekvationen
. mn
m* a„„ sm —— x =
(?)"!«
m — 1
00 00
x /v . mn V . mn
= j-, jT am, « - 1 Sm l X — 2 £ ü""> Sm i X +
m — l
m = 1
T. mn \
, <*m, * + lSlIl — Xj.
m = l
När vi utveckla denna ekv., märka vi, att den är giltig
för alla axvärden, om
V dS (mji\2 x
Genom att bilda summan 2* dx* lmder be- j ®= ßi[am, v-i — ° + « + i);
aktande att T
n, n + 1
Tx. ® — 1.
d x
p = v
0 erhålles
= sdS*>
L dx
(m= 1,2,3,...)
Ifall vi införa beteckningen
(7)
392
15 aug. 1942
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
