Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 35. 29 aug. 1942 - Problemet Sandöraset, av Ernst von Post, Arvo Ylinen, Carl Forssell, E. Nelander, Justus Österman och Ivar Häggbom
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk. Tidskrift
och i stället för v sätta v -f- 1, kunna vi skriva ekv.
under formen
am, «>+ 2-^ am, « +1 "f amv = °> (l2)
vilket är en homogen differensekvation av 2:dra
ordningen. Dess karakteristiska ekv. är
ß* — Xß + 1 =0,
vars rötter äro
mzTi. A+v/l^n
^AW1
A- W
—4
4
2 — v/22 ■
(14)
„) sm -— a; = 0.
eller
Villkoret a.
osin^x-f-^ ^(ow+o
m = l u=l m=l
Om nu koefficienterna Am och Bm i ekv. (15) väljas
så, att för varje värde på m amO=0 och ame-j-ami_s =
= 0, är projektionsekvationen satisfierad för alla
värden på x. Ur villkoret am0 — 0 följer enl. ekv. (15)
Amß1°+ Bmß2" = 0
R _ _ A
{- am, — v — 0 leder åter till ekvationen
(Am ßf + Bm ß/) + (Am ßr° -f Bm ß2~°) = 0
eller
Am OV + ßr°) + Bm (/V + /?,-•) = 0.
Genom att multiplicera denna med den på grund av
ekvationen (13) :s rötters egenskap rådande identiteten
ßi*ß2v — 1, erhålles även ur denna ekvation
n __ _ a
m ^-m’
Uttrycket (15) kan alltså i båda fallen skrivas
= AJß^-ßf). (16)
Ingenjör Häggbom har vid bestämningen av
konstanten Bm använt sig av villkoret att för v r= 0
koefficienten a„=0 = 0. Samtidigt hänvisar han till ett
symmetrivillkor utan att närmare förklara detta.
Enda riktiga sätt att bestämma koefficienten Bm är
att använda projektionsekvationen (1), såsom här
ovan gjorts. Först därefter kan man påvisa, att amt
är en symmetrisk funktion med avs. till origo.
Såsom ing. Häggbom visat, är det fördelaktigt att
efter formeln (16) övergå till hyperboliska funktioner,
varvid erhålles
= 2-
E< Fi (mjzy
x~\ I )
och
2 Am sinh vcp.
2 cosh cp (17)
(18)
Härigenom kan uttrycket (10) för den i elementet v
(13) verkande kraften Sxv skrivas under formen
XV
oc
Sxv = 2 ^Am sinh
m — 1
. mn
v cp sm — - x.
(19)
Den allmänna lösningen för ekv. (12) blir därför, om
Å =j= 2, av formen
amv = Amß1’ + Bmß2", (15)
vari Am och B rn äro konstanter. De äro icke oberoende
av m, såsom ing. Häggbom antagit i sin lösning, utan
kunna få olika värden vid varierande värden på m.
För bestämning av konstanterna Am och Bm hava vi
till förfogande två jämviktsvillkor. De äro
projektionsekvationen (1) och momentekvationen (2). Då
(10) insattes i ekv. (1), bringas denna i form
n oo
Tv^ . mn
w 2^amv sin -J- x = 0.
v——n m—l
Ifall vi utveckla denna och sammanslå termer av
samma m-värde men ordnade parvis enligt motsatta
förtecken på v-värdena, kunna vi skriva ekvationen
på följande sätt
Ing. Häggbom har i sin undersökning på motsvarande
ställe satt Am sinh v<p framför summatecknet. Detta
är fel, ty både Am och <p äro funktioner av m. Härav
följer, att alla de formler i hans uppsats, där uttryck
av Sxv> dess derivator eller integraler ingå,
beklagligtvis nog är felaktiga.
För bestämning av den andra konstanten Am i den
allmänna lösningen (15) hava vi till förfogande
momentekvationen (2). Emedan S„ enl. ekv. (19) är en
udda funktion med avs. till v, kunde man i ekv. (2)
sätta
s„ v,
v = — n v = l
vilket ing. Häggbom, dock utan motivering, gjort
genast i början. — Det visar sig dock senare, att för
beräkning av strävans knäckbelastning det icke är
nödvändigt att känna Am, varför vi lämna den
obestämd.
Strävans utböjning y erhålles ur formeln
y = -jj^dxdx, (20)
vari vi insätta värdet för mx enl. ekv. (8). Härvid
kunna vi välja som nedre gräns för summan
antingen v — 1, som ing. Häggbom gjort, eller Vz=n,
varvid för knäckbelastningen erhålles en betydligt
enklare slutformel. Om vi använda det sistnämnda
sättet, kunna vi skriva ekv. (20) under formen
1 d2 S„
x dx2
-i — Sx
E’ Ft
dxdx
eller, om vi beakta uttrycket (19) för Sxv,
00
y=
* j V m2 Am sinh n cp sin
mn
uu
E’F\ (X
m — l
mn
Am smh(n — V)cp sin —— x —
m = 1
Am sinh ncp sin
. mn V
111t*
dx dx.
■t—i
När vi utföra integreringen erhålla vi
. , . mjl
Am smh n cp sm —— x -
m — l
oo
’F, CHli sinh (» - i)sin T * -
m—l
oo
v- 1 mn \1
_ llm^AmS[nhn V™ ~TX)\’ (21)
15 aug. 1942
3 393
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
