Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
Skjuvspänningarna på en påles yta.
Av docent ADOLF ANZELIUS.
Teoretisk behandling av problemet om
tangen-tialkrafternas fördelning på ytan av en belastad
påle synes icke vara utförd. Däremot äro
experimentella undersökningar utförda rörande denna sak.
Så har professor C. Forssell och medhjälpare vid
Byggnadsstatiska laboratoriet undersökt särskilt
pålar i lera, varvid skjuvspänningens storlek kunnat
mätas punkt för punkt från pålens spets till lerytan.
Med anledning av dessa empiriska resultat synes det
förf. av intresse att framställa den teoretiska
spänningsfördelningen samt att finna de faktorer, som
äro bestämmande för denna fördelning.
Uppställande av spänningens integralekvation.
Lägg xy-planet i fria lerytan och s-axeln vertikalt
nedåt. Den senare må samtidigt vara geometrisk
axel för den cirkulära pålen, vars längd är l, radie r
och yta F. Pålen antages belastad i överytan med en
vertikal kraft P.
Om en kraft verkar, koncentrerad inom ett litet
område i det inre av leran, åstadkommer den en
deformation, vars komponenter u, v och w äro
beroende såväl av den punkt, i vilken deformationen
mätes, som av den punkt, där kraften är anbragt.
Pålbelastningen P uppbäres av de över pålens yta
uppträdande friktionskrafterna eller
skjuvspänningarna t (se nedan). Varje ytelement dA av pålen
blir alltså säte för en kraft t dA, vilken deformerar
lermassan. Låt C (xc. y„ zc) vara en punkt på pålens
yta och dAc ett ytelement av pålen i denna punkt.
Vidare må D [x, y, z) vara en godtycklig punkt i leran
samt w (x, y, z, xc, yc, zc) deformationens vertikala
komponent i punkten D på grund av en vertikal
enhetskraft i punkten C. Då blir tydligen integralen
(0
w (x, y, z, xc, yc, zc) r (xQ, yc, zc) dAc
CO
(0
P =
r(xc, ynzc)dAc
Är E elasticitetsmodulen för pålmaterialet,
åstadkommer denna kraft en hoptryckning P per
b tu f
längdenhet i snittet z i= Den resulterande
elastiska nedtryckningen av ett godtyckligt snitt blir
alltså
i (p
dt, ir(xc,yc,zc)dAc.
FE
(O
Integralekvationen för skjuvspänningen blir således
(0
fw (x, y, sn, xc, y„ zc) x (xc, y„ zc) dAc = konst. +
(o)
w
f’
+
l (0
pTßj dCjr{x„ yc,
* CO
zr) dAc
(2)
f
(O)
utsträckt över pålens yta. den resulterande vertikala
deformationen i punkten D på grund av samtliga på
pålen verkande friktionskrafter. Detta under
förutsättning att deformationsfältet icke väsentligt stores
genom pålens närvaro.
Låter man nu speciellt D (x, y, z) ligga i pålens
yta, framställer integralen den vertikala
förskjutningen av leran invid pålen och bör således vara lika
med pålens egen förflyttning, så länge glidning icke
inträtt i gränsytan. Denna pålens egen förskjutning
utgöres dels av en konstant sänkning av pålen som
helhet, dels av dess elastiska deformation på grund av
tryckkrafterna.
I ett snitt z — £ är tryckkraften
tt) CO
P£ = P — jr (x„ y„ zc) dAc = jr (xc, yc, zc) dA„
C o)
då enligt föregående
Härtill kommer bivillkoret (1).
Funktionen w, som spelar rollen av kärna i
integralekvationen, skall nu beräknas. Detta är ett
elas-ticitetsteoretiskt problem, som kan formuleras på
följande sätt:
En kropp, begränsad av ett halvplan men för
övrigt oändligt utsträckt, är i en inre punkt
påverkad av en koncentrerad enhetskraft,
riktad inåt kroppen och vinkelrät mot dess plana
begränsningsyta. Man söker en lösning till den
elastiska grundekvationen
fJL A« + (X + ju) grad 0 = 0.
där u [u, v, w] är förskjutningsvektorn och
Q— divtt, sådan att begränsningsytan blir
spänningslös.
Dylika randvärdesproblem för det oändliga
halvplanet äro behandlade i elasticitetsteorien genom
metoder givna av Boussixesq, Cerruti1 o. a. Vi skola
därför icke ingå på lösningen av detta problem.
Resultatet blir i ovan beskrivna koordinatsystem:
w
=41-
+ y2 ß
N3 M
\-yi
M3
— 6 pz
där
där N = \/x2 ?/2 + (z — pf,
M = \/x2 + y* + (z + pf,
1 X + ju
nu A-|-2/u
oc = 2
Å-j-2 fi
/.-)- 3 fi
l 2 +/t
’ ~ —3-1-’
Å + fi
svarande mot den koncentrerade enhetskraften i
punkten z=p utefter positiva 2-axeln.
Är nu pålens radie r liten, kunna vi antaga
skjuvspänningarna verkande utefter s-axeln och t funktion
(1)
C»)
i Se t. e. a. E. h. Love : Math. Theory of Elasticity. Cam-
bridge 1927, s. 237 f.
16
21 febr. 1942
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
