- Project Runeberg -  Teknisk Tidskrift / 1942. Väg- och vattenbyggnadskonst samt husbyggnadsteknik /
162

(1871-1962)
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Like | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

Teknisk Tidskrift

Fig. 1. Spänningarna på ett litet volymselement rd ip dr inuti
jordmassan

ytan ovanför stödmuren är plan eller krökt, belastad
eller obelastad; jordtrycket mot muren kan vara
riktat vinkelrätt mot denna (glatt mur) eller luta en viss
vinkel mot murytans normal (skrovlig mur). Vid
plan, vertikal, glatt mur och horisontal, obelastad
markyta erhåller man de bekanta formlerna

£*•(«■-!),">......=«°+f

Jaktivt -

och

y h2

V

passivt = 2-tg2^45U + 2j,

ivt — 40

ip
2

där

■^tivt! resP- ’^passivt är det aktiva, resp. passiva
jordtrycket mot muren

co = glidytans lutningsvinkel mot horisontalplanet
y — jordens volymvikt
h — murens höjd
ip = jordens friktionsvinkel

Genom att tillämpa samma förfaringssätt på
glidytor, som skära muren i en punkt mellan krönet och
foten finner man, att intensiteten av jordtrycket
mot muren rätlinigt växer från 0 vid krönet till

yh tg2 ^45° — resp. yh tg2 ^45° |j vid murens

fot.

En modifikation av den klassiska jordtrycksteorien
är att på likartat sätt räkna med en buktig glidyta
av visst slag, t e en cirkel eller en logaritmisk spiral.

I den exakta jordtrycksteorien binder man sig ej
i förväg genom att antaga någon viss form på
glidytan. Man utgår där ifrån jämviktsekvationerna,
vilka måste vara uppfyllda för varje litet element i
jordmassan; därjämte antager man, att jordmassans
inre friktion ingenstädes överskrides. Dessutom få
dragspänningar i jordmassan ingenstädes uppträda. I
gränsfallet att jordmassans inre friktion överallt är
fullt utvecklad erhållas då sammanlagt tre
ekvationer, varav två äro partiella differentialekvationer,
för de tre spänningarna ax, ay och r. Om man på
något sätt lyckats lösa dessa ekvationer, så att
spänningssystemet blir entydigt bestämt, kan skaran av
glidytor erhållas genom bestämning av glidytans

riktning i varje punkt i jordmassan; det ytelement,
vars resulterande spänning bildar vinkeln ip med
ytelementets normal, ligger nämligen i glidytans
riktning. Uppgiften att lösa de tre ekvationerna är
emellertid komplicerad och har, såvitt känt, hittills
ej blivit gjord på ett sådant sätt, att för praktiskt
dagligt bruk användbara formler eller metoder
framkommit. I Arkiv för matematik, astronomi och fysik,
Bd 20 A, nr 25, 1927, har C. W. Oseen i en uppsats,
betitlad "über eine in der Theorie des Erddrucks
auf-tretende Differentialgleichung zweiter Ordnung",
behandlat problemet och för det speciella fallet, att
jorden är viktslös, i rent matematiskt hänseende löst
det. Lösningen gäller för alla viktslösa jordmassor,
i vilka friktionen är fullt utvecklad. Den är dock ej
given i sådan form, att den lämpar sig till praktisk
användning.

Vidare har Kötter härlett ett uttryck för
variationen längs glidytan av resulterande spänningen mot
den (Kötter: Die Bestimmung des Druckes an
ge-krümmten Gleitflächen, ein Beitrag zur Lehre vom
Erddruck, Zeitschrift für Architektur und
Ingenieur-wesen, Hannover 1908). Kötters ekvation gäller
emellertid endast just för glidytan, vars utseende är
obekant; ekvationens användbarhet är därigenom
högst begränsad.

Nedan undersökes jordtrycket mot en plan,
vertikal, glatt stödmur under en horisontal, obelastad
markyta. Jordens inre friktionsvinkel är ip.
Uppgiften är att konstruera ett spänningssystem för
jordmassan, vid vilket jordens inre friktion, enligt den
exakta jordtrycksteoriens fordran, överallt är fullt
utvecklad samtidigt med att spänningssystemet
överallt uppfyller jämviktsekvationerna. Problemet har
sitt intresse, dels därför att resultatet ger en
intressant jämförelse med den klassiska
jordtrycksteoriens ovan nämnda resultat, och dels därför att den
metod, som begagnats, visat sig vara mycket
användbar vid konstruktion av möjliga spänningssystem
i en jorddamm. (Behandlingen av jorddammen
kommer att publiceras i annat sammanhang.)

Fig 1 visar en tvärsektion genom muren och
jordmassan. Vid beräkningen betraktas en skiva av
jordmassan, vars tjocklek (utsträckning vinkelrätt mot
bildens plan) är 1. Ett polärt koordinatsystem
införes med origo vid murens krön och grundriktningen
vertikalt nedåt. I figuren äro alla de spänningar
inritade, som verka på ett litet element rdcpdr med
koordinaterna r och <p. Komposanterna i radiell och
tangentiell led av masskraften (i förevarande fall
tyngdkraften) per volymsenhet betecknas med qr och
qv. Krafterna räknas positiva i figurens riktningar.

Om spänningarna mätas med jordens volymvikt
som enhet är

(1)

qr = eos cp
qv = — sin cp

Genom projiciering i radiell och tangentiell led av
de krafter, som påverka det lilla elementet rd <p dr,
erhållas jämviktsekvationerna
3 ar
3 r

r r 3 cp 1

1 <K,

r dep

dr 2 z

■Tr + T + q*

= 0

(2)

162

28 nov. 1942

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Mon Jan 11 20:15:39 2021 (aronsson) (download) << Previous Next >>
http://runeberg.org/tektid/1942v/0170.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free