Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 4. 23 jan. 1943 - En ny metod för grafisk integration, av L Högberg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
En ny metod för grafisk integration
STATSMETEOROLOG L HÖGBERG, STOCKHOLM
Helt naturligt kunna de rent grafiska,
approximativa metoderna icke ersätta de numeriska
beräkningarna eller instrument såsom planimetrar etc. Fall
kunna dock förekomma då det kan vara lämpligt till
gripa det mindre exakta men ofta mer åskådliga gra
fiska förfarandet. Nedanstående kan därför ha ett
visst intresse, i synnerhet som metoden omfattar
många problem, där uttrycket, som skall integreras,
representeras av en given kurva, multiplicerad med
en helt godtycklig funktion.
För erhållande av ett allmännare grafiskt
integrationsförfarande har författaren funnit lämpligt utgå
från uttrycket
X X
j’y ix) f (x)dx = [v (») J7 (x) dx\
b u
där y (x) motsvarar den ursprungligen givna kurvan,
f (x) en godtycklig funktion av x och slutligen v (x)
en hjälpkurva, som närmast skall bli föremål för
konstruktion. För detta ändamål deriveras nämnda
integralförhållande, vilket lämnar differentialekvationen
dv(x)
dx
= [y[*) — v (ar)]
din \f(x) dx
dx
Som abskissa för bestämning av v (x) införes eu ny
variabel t i stället för x, vilket enligt konstruktionen
A v dv
i fig. 1 efter gränsövergången - = —- lämnar en ny
Zj x d x
differentialekvation:
dv(t)
dx
y(x) — v (t)
x— t
Ur dessa bägge ekvationer erhålles slutligen:
dt
din j"f[x]dx
dx
Integrerat blir detta:
t = Jfihx[C+SXf{X)dX]
Härmed är abskissindelningen för kurvan v (x)
bestämd som funktion av x. Av fig. 1 framgår
omedelbart konstruktionen av ifrågavarande kurva som en
sekantpolygon, för vilken sekantlutningen i
förhållande till x- resp. £-axeln fortlöpande bestämmes av
mitt-ordinatan y inom delintervallet Ax enligt
förhållandet
/Sv
Äi ^
y -
X ■
■ v
■ t
Som utgångspunkt för «-kurvan erhålles det
ab-skissvärde t, som motsvarar x = 0.
Med hänsyn till den horisontella skalans
villkorlighet kan maximivärdet för x bestämmas som enhet,
och i detta fall blir integraluttrycket med införande
av gränserna 0 och 1:
$y{x)f(x)dx = v(l)5f(x)dx
o
För en sluten ^-kurva måste sekantpolygonen
fullständigas, varför konstruktionen fortsättes i överens-
DK 518.4
kommen riktning tillbaka till det abskissvärde t, som
motsvarar x — 0. I detta fall erhålles:
jy{x)f(x)dx = v,(Q)$f{x)dx
där slutvärdet v, (0) genom sitt index skiljes från
utgångsvärdet vu (0) — 0.
I händelse y- och v-kurvorna ha samma origo, dvs.
när t = 0 för x s= 0, erhålles den obestämda formen
oo • 0. För undvikande av detta utföres
konstruktionen separat för ^/-kurvans övre resp. undre hälft, i
bägge fallen mellan gränserna 0 och 1, varvid
slutvärdet för v erhålles som differens mellan de bägge
värdena för v (1), alltså:
]y (*)/[x) dx = K(l)- vb (1)] j7 (ar) dx
o
där indices a och b avse den övre resp. undre
hälften av y-kurvan.
Som framgår av uttrycket för abskissan t erhåller
denna en tämligen enkel uppbyggnad för vissa
algebraiska former av funktionen f [x). Så t.ex. för ett
polynom:
f(x) = (a + x)"-1
I detta fall blir med införande av index n för t
och v.
n 1
t„ = —-i–—a
n -)-1 n -†-1
Samtidigt blir det ursprungliga integraluttrycket,
eftersom vn (0) enligt det föregående väljes = 0:
X l
jy(x) (a -(- x)n~1 dx = - v„ (x) (a -f x)n
o n
För n — 1 erhålles den enkla kvadraturen, för
n = 2 tyngd — och för n = 3 tröghetsmomenten med
hänsyn till en vertikal axel genom a.
För a = 0, dvs. när origo för x och t sammanfalla,
erhålles det enklare uttrycket
x 1
jy(x)x"-1dx— xnv„(x)
n M
30 jan. 1943
33
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
