Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 4. 23 jan. 1943 - En ny metod för grafisk integration, av L Högberg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
Samtidigt dessutom för konstruktion av vn (ar)
ab-skissförhållandet
n
x
" n + 1
Av fig. 1 framgår, att för n = 1 ocli ett godtyckligt
index p erhålles som integral värde:
i
i>i,p=-(yp + yp-i + • •• + 2/2 + 2/1)
motsvarande alltså en medeltalsbildning av den givna
kurvans ordinatvärden. För en linjär form av y (x)
erhålles det exakta integralvärdet.
För n–2 erhålles vidare:
vilket för y (x) konst, motsvarar ett asymptotiskt
närmande till det exakta integralvärdet enligt
förhållandet
4 p»
’ 4/>l—1
Slutligen erhålles för « — 3:
1
v3 ,p =
[P(V — 1)2/P +
PO»—1)0»+1)
+ (p—l)(p —... +3-2^ + 2^]
I detta fall utgår värdet y1 ur beräkningen. För en
linjär form av y (x) erhålles det exakta
integralvärdet.
Ovanstående rent matematiska härledning av
metoden bör lämpligen kompletteras med en kortfattad
framställning av dess praktiska tillämpning.
1 fig. 2, som visar konstruktionen för en enkel
kvadratur, är a=l och antalet ordinator begränsat till
p— 4 för att erhålla större åskådlighet. Eftersom
o
jy(x)dx = o,( 0)
så motsvarar sträckan AF = vs (0) det sökta
kvadraturvärdet. I detta fall blir förhållandet AC/CD =
~ 1/2 enligt relationen
n 1
tn — ——- x–- a
n+1 n+1
vilket ju även gäller förhållandet mellan de bägge
kurvornas inre ordinatavstånd.
Fig- 2.
För beräkning av tyngd- och tröghetsmomenten
med hänsyn till en vertikal axel genom en punkt a,
vars avstånd räknas från punkten C i riktning mot
punkten A, måste motsvarande avstånd för den
senare punkten uppfylla villkoret
AC = g a resp. AC — * a
Dessutom förhåller sig avståndet AH (se fig. 1) till
avståndet CD som 2/3 resp. 3/4, vilket likaledes
gäller förhållandet mellan de bägge kurvornas inre
ordinatavstånd. För tyngdmomentet erhålles efter
utförd konstruktion
]y [x) (a + x)dx = j v, (0) = AF
Och för tröghetsmomentet
]y (x) (a + x† dx = j v, (0) = £ AF
För a — 0 måste integrationsförfarandet, som
tidigare omnämnts, begränsas till en mellan
abskissvär-dena x0 och x — 1 förlöpande kurva. I detta fall
återges i fig. 3 den synnerligt enkla
kvadraturberäkningen. Punkten A sammanfaller med punkten C,
varjämte avståndet CB motsvarar halva avståndet
CD. Kvadraturvärdet blir
1 _
jjy(x) dx = vx(l) = BÉ
o
För tyngdmomentet med hänsyn till en vertikal
axel genom punkten C erhålles:
]y (x) (a + x) dx = (i) = 1 BE
där avståndet CB motsvarar två tredjedelar av
avståndet CD.
För tröghetsmoinentet med hänsyn till samma axel
erhålles vidare:
}y{x)(a + x?dx = ^v{\)=^BE
i detta fall med avståndet CB motsvarande tre
fjärdedelar av avståndet CD.
Ifråga om enkelhet (fig. 3) torde denna grafiska
integrationsmetod, trots dess något omständliga ma-
34
30 jan. 1943
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
