Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 29. 17 juli 1943 - Tillämpning av Fouriers integralsats för lösning av linjära partiella differentialekvationer av andra ordningen, av Owe Berg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
Om nu X — e"’ r, Y = e"’y, Z= e" så fås härav
F(X, n, v)T(o) =
+ OC
1
8 n.
3, | |/(£,»/, t)e e ’"n e "’dgdt]dC (7)
På motsvarande sätt satislieras randvillkoren.
Metodens tillämpning
på differentialekvationer av typen (1)
Exempel 1’. För en stav, vars ena ände (.r = o)
är fast, och vars andra ände x= L åverkas av
longitudinell kraft P(t) per ytenhet, där P(t) = 0
för t < o. gäller differentialekvationen
22u _ 1 32 u
3X2 ci 3 (2
3« Pit)
med randvillkoren u = o för x — o, =- för
c’x E
du
för x = L och begynnelsevillkoren u = o, ^ = o
för t — o.
En partikulär lösning är
A ,
/ \ ± i x ± lif
u (xi) = e c e
Randvillkoret u (o, t) — o ger
± il I . /
u = e sin — x
c
I)en allmänna lösningen är da
+ 00
u(x,t)= | F(Å)sin * x e"’dl
Fig. l.
8c / (—l)"sin
n = o
. 2n + 1 jr
sin -
2 n + 1 x
2
31L
2n + 1
c (t — ßj
Vi få sålunda
+ 00
Enligt (5), (6), (7) fås härav
(du
- 00
(I") = f * FU)cos- L eUI dX
\àx/x = L J c c
— 00
+ 00
1 rr-Ptt
2.7 JJ E
P(&) /;.</ -«>
- e
dl dß
— 00
+ 00
11 PW -ii» ,,,
-xe eos L
och alltså
+ 00
. 2 n + 1 X
sin—^ n-
u(x,t)=-~ p^Tc-ir
71 t J W 2/7 I 1
: O
c(t — ë)dd
-oo n = o
. 2n+l jr
sin —
2 L
Sättes nu P(#) = O för ß < o och för i) > t, så fas
sin
2/1 + 1 x
o n= o
. 2 n + 1 n . .. , „
sin–1— y c[t — ifjd §
Denna lösning satisfierar uppenbarligen
begynnelsevillkoren. Om P(d) är konstant = P fås
genom integration
"(*-<)= I ("I)"
ln = 0
. 2 n + 1 x
»ID——
(2/1 + l)2
. 2/i + 1 æ
sin–-ti - . .
2 L 2 n + 1 ti .
eos „ et
(2 n + l)2
L
s —, . sin xe 7 dö dl.
2nEj J A c
— oo t eos 7,
c c
Vi integrera först i /-planet längs en väg,
bestående av en rektangel med sidorna parallella
ined reella resp. imaginära axeln. Rektangelns
undre horisontella sida lägges just under reella
axeln. Då de övriga sidorna förskjutas oo långt
från axlarna erhålles integralens värde
• ^
+,9° sin x
l C U(l-<») ,,
J I–= -
—oo eos L
c c
Den första summan är (se t.ex. Hiitte I, 25:e
uppl., s. 169)
7tS X
8 L
Den andra summan kan skrivas
1 y (_D-—1
2 LK (2n -)
. 2/1 + 1 n
(2n + l)2 Sm 2
(ct + x) —
n — o
oo
_ ly (_ 1)«_L_ sin 2 n±I * (c ,-r)
2 w (2 n + l)2 Sm 2 V ’
n = o
Detta insatt ger slutligen
u(y,0=‡|{x — ^ f{et — «)+ J f(ct — x)J,
varvid /(x) har det i fig. 1 angivna utseendet
.’542
17 juli 1943
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
