Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 38. 18 sept. 1943 - Tillämpning av Fouriers integralsats på linjära partiella differentialekvationer, av Owe Berg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TekniskTidskrift
Den allmänna lösningen är då
+ 00
w(x,t)= | FU)Xa-,x)ent dX (18)
— 00
Vi återgå nu till den inhomogena
differentialekvationen men inskränka oss till en början till
det fall, att cp (x, t) <= o för alla x 4= f. I
punkten x = £ blir q> (x, t) <= oo på sådant sätt, att
lim J <p (x, t) dx — ^ (t). Vi uppdela området i
e-*o «,
två: I: o ^ a: < II: | < x < L och sätta w =
a. JL • 1/ ^ A ^ ^ , xx. - .(. iuwi oaiia «/ -
: Wi resp. w — w2 i vardera området. I x = £
hopskarvas wt och w2 så, att
3 wl 3 w3 32wt 3*w2
Wl=W2;Tx = Tx ; "äF" = : •••
Vi multiplicera (17) med dx, integrera mellan
gränserna f — £ och £ + e och låta därefter
e ■* o.
dn~lw2 dn~1w1 (d n~2wi dn-2wA
Om koefficienterna an äro kontinuerliga
funktioner av x blir integrationsresultatet
~ 1 _l idn~2wi d"~2Wj\
dxn~1 dx"-1 + a"~11 3zn-2 3x«-2 •""
Idwo
+ = *(*) (20)
Härvid har även förutsatts, att
f+« f+« É + * £ + *
r d2w 32 r r 3w d r
J J J Jtd*= 31 J
f-s f-t {—e f —e
samt att blt b2 äro ändliga.
På vänstra sidan i (20) står summan av
sprången i de n — 1 första derivatorna av w,
multiplicerade med koefficienterna a„ (!) ....
Av dessa försvinna enligt (19) alla termer utom
den första, varav fås
+00
= ^jjøwjw-^dødx
—co
Enligt (18) blir alltså
+ 00
varav
pm "I _
+ 00
In J
446
Detta insatt i (18) ger
+ 00
1 ( f 0(0) XnU;-’) ea<l~V ....
3"—^zTüTlj W
(n - -00 3|n-l a^n-l
Vi ha därmed löst problemet för det fall, att
cp [x, t) =o för x 4= f, dvs., fysikaliskt uttryckt,
att den yttre kraften angriper i en enda punkt.
Vi återgå nu till det allmänna fallet, då cp [x, t) H=
+ o även för x =‡= Nu gäller, som bekant,
super-positionsprincipen för alla fenomen, som kunna
uttryckas medelst linjära differentialekvationer.
Vi kunna därför genast uppskriva lösningen till
det allmänna problemet. Härvid måste
emellertid särskiljas två fall:
<p [x, t) har formen f [x) ip [t). Då är
x L
w x, t) = C Wtfcx,t)d£ + j Wi(€;x,t)dS (23)
O X
cp [x, t) har ej formen f [x) ip [t). I detta fall,
vars fysikaliska innebörd är, att kraften ej
angriper samtidigt i alla punkter, kan man i vissa
viktiga tillämpningar skriva cp [x, t) f= / (x) tp [f —
— g (x)]. Då är
X
W(x,t)= I W2 [£;*, t — 0(£)] d£ +
o
L
+ Jwi[fjs.f-øtö]d| (24)
X
I det statiska fallet [&il=&5,= o; cp (x,t) =
= <p (x)] blir resonemanget analogt. I detta fall
fås i stället för (18).
+ 00
w(x)= j FU)XU;x)dX (18a)
— 00
och i stället för (22)
__XnU-,X)
wn[x) = <p 3"~ 1^2 u-j) _ 3"-^! U;i) 1 a>
-io 3!"-1 2!"-1
samt i stället för (23)
x L
w{x)= Jw,(f;*)df + J wi(f;«)df (23a)
O X
18 sept. 1943
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
