Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 4. 29 januari 1944 - Spänningar vid plant deformationstillstånd, av Karl Ljungberg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
100
TEKNISK TIDSKRIFT
da spänningar även äro riktiga för det plana
tillståndet. Man har endast att tillägga beräkningen
av spänningen a, i axelriktningen samt av de
olika töjningarna ex, ey och ez.
Då cylinderns ändytor äro obelastade, gäller
jämviktsekvationen
$ozdA = 0
A
Införes enligt det ovanstående oz = °y + ou
m
får man
x = a y — vV — x2
y — a x
= \/a2 — i
m
x = 0
J dx | Ox dy + ~ J dy j oy dx + na2 ou = 0
y = 0 y = 0 x = 0
Enligt läroboken s. 436 och 437 är
x=V^a2 — y2 y = \Ja2 — x1
| Oy dx = 0 och 2 ( Ox • /dy = — P
x~0 y=0
Man får sålunda ur jämviktsekvationen
2 Pa , 2 n „ 2 P
––— -4- na ou — 0 eller ou =–-,:
m l m ti al
och således
Oz
Ox
m
gf , 2 P
m jial
Införes enligt s. 436 bli således de tre
normalspänningarna
’(a — x† 2 (« + x† \
[[a + x)2-\-y2]2l
Ox
3=P/1_ 2 (<
n l la f(a —
[(a — x)2 4- y2]2
—x)
2 t/2 (a
°y 7il\a [(a — x)2 H- y2]2
it
= 2 P /2
m Tilia
samt
Oz
2 y2 (q 4- x) \
[(q + xf + y«]«J
q + x \
(q + ^+y2!
q — xj2 + y2
Skjuvspänningen är
_ 2 P/ y{a — x? , y[a + x)2 |
«/ l[(a - x)2 + y2]2 + [(a + x)2 + y2]2/
I snittet x = 0 är
Oz, x = 0 —
I snittet y = 0 är
J/=0 — —
4 P
mnl a (a + y’
4 P
mnl a {a2 — x2)
I mittpunkten x •= 0; y = 0 är således o* = 0.
För att bedöma betydelsen av att ta med
oz-spänningen i deformationsberäkningen kan man
t.ex. beräkna ändringen av den horisontala
diametern (x i= 0) genom lasten P.
Förut har beräknats denna ändring Öh om o2
försummas. Enligt läroboken s. 444 är i detta fall
öh= 1,644
ni ih
Det exakta värdet erhålles enligt följande
_ 1 / Ox Oz\
,x=0 — Oy-— — T" I
L \ m ml
Ey
För x = 0 är
Ox, x = 0 —
P fi
4 q3 )
l\a (q2+y2)2/
Oy,
_ p fi
n l lq
och
dvs.
öh—2
Oz, x = 0 —
jay2 \
(a2 + y2)2/
4 y2
ni ma {a2-f-y2
y = a
Ett/J
y = 0
4qy2
1
(a2+y2)2
4 y2
+
4 q3
ma m[a + y
m2a[a2^y2U dV
2 P f m—i ti 4 / jiY\
~ Enl l2~ m ’2 mA1 4/J
m z m
För specialfallet m<= 4 erhålles
(5«= 2 -^-(0,8219 — 0,0536) = 1,5366 ,
t, ni t, ni
Den senare termen inom parentesen svarar mot
ändringen på grund av oz. Denna justeringsterm
utgör ca 5,5 % av den förra. Man har sålunda
allt skäl att beakta den. För att bestämma den
vertikala diameterns ändring måste man tänka
sig lasten P utbredd över en viss liten smal yta
(jämför beräkningarna i läroboken s. 444—447).
De ovan deducerade formlerna kunna även
användas vid belastning på ett plan efter en rätlinig
smal strimla. Man har endast att införa qt=oo
samt utbyta koordinaten x mot u<= a — x. I
övrigt hänvisas även i detta fall till läroboken.
Man får spänningssystemet
Ou = -
Oy
2 P
ni
2 P
ni
[u2 + y )
uy*
[u2 + y2)
2\2
Ou ~b Oy
m
= +
2 P
mnl u2 yl
och
Tz = -
P
ni
u2y
[u2 + y2)2
Man kan även för detta system övergå till att
belastningen P är jämnt fördelad eller paraboliskt
fördelad efter en smal strimla med bredden 2 b.
Då räkningen är mycket likartad den i läroboken
angivna, vill jag ej här ta upp plats med att
anföra den. Jag vill endast anföra några
siffervärden på Oz för de olika antagandena koncentrerad
last P, jämnt fördelad last P= 2 q0 ’bl samt pa-
2
raboliskt fördelad last P = — • 2 • q0 bl = 2 qi bl.
o
Spänningar oz pä olika djup u under ytan; m = 4.
u Koncentrerad last P (=2 q- bl) Jämnt fördelad last Paraboliskt fördelad last
0 Oz i= — oo oz = — 0,5 q0 oz ■= — 0,75 qi
0,5 b — 0,6366 q — 0,3524 q0 — 0,4221 qi
1 b — 0,3184 q — 0,2500 qo — 0,2725 qi
2 b — 0,1592 q — 0,1476 q0 — 0,1525 qi
5 b — 0,0637 q — 0,0628 q0 — 0,0630 qi
10 b — 0,0318 q — 0,0317 q0 — 0,0318 qi
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
