Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 16. 22 april 1944 - Logaritmiska spiraler som glidytor i friktionsjord, av Sten Odenstad
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
468
TEKNIS K TIDSKRIFT
Fig. 2. Logaritmisk spiral med vinkeln q.
Horisontalprojektionen av grundriktningens radius
vektor lika med 1.
visade spiralen är den verkliga glidytan genom A,
är friktionen fullt utvecklad i varje dess
ytelement. Resultanten till krafterna mot spiralytan
går då genom polen O, varför det stjälpande
momentet kring O av P är lika med det mothållande
momentet av Q. Problemet gäller att finna den
vinkel o, vid vilken en spiral (glidytan) genom
punkten A uppvisar fullt utvecklad friktion
(stjälpande momentet av P lika med mothållande
momentet av Q), medan i alla övriga spiraler med
ifrågavarande vinkel q friktionen underskrides
(stjälpande momentet av P mindre än
mothållande momentet av Q). Av nedanstående lösning
framgår, att vid alla spiraler med större g det
mothållande momentet av Q är större än det
stjälpande momentet av P och att således jordens
för jämvikt erforderliga friktionsvinkel är mindre
än den för dessa spiraler använda vinkeln. Vidare
framgår av lösningen, att man vid mindre £>-värde
alltid kan finna spiraler, vid vilka det
mothållande momentet av Q är mindre än det stjälpande
momentet av P; jordens för jämvikt erforderliga
friktionsvinkel är då större än den för dessa
spiraler använda vinkeln. Det enligt ovan angivna
metod erhållna värdet på q är således lika med
den för jämvikt erforderliga friktionsvinkel, som
kan erhållas medelst logaritmiska spiraler.
Man inser lätt, att bland alla likvinkliga
spiraler genom A, vilkas pol ligger på vertikallinjen
på avståndet a till vänster om A, endast den
möjligen kan vara den verkliga glidytan, vid vilken
momentet av Q kring O är minst. Ty i annat fall
skulle det ges spiraler med den sökta
friktionsvinkeln, vid vilka det mothållande momentet av
Q vore mindre än det stjälpande momentet av P.
Med värdet a — l på horisontalprojektionen
av-grundriktningens radius vektor och med jordens
volymvikt y = 1 finnes för varje spiralvinkel q
ett visst minimivärde x = x (o) på det
mothållande momentet av Q. Vid andra värden på a och y
är då det mothållande momentets minimivärde
lika med xya3. Först beräknas nu sambandet
mellan q och x.
I fig. 2 återges en logaritmisk spiral med vinkeln
q, där grundriktningens radius vektor har hori-
sontalprojektionen 1. Jordens volymvikt antas
lika med 1. Momentet kring polen av den
utskurna jordmassan och ovanför liggande triangel
(även den med y<= 1) är
VI
Mi = * r03 fe* -3 tg(?-sin(<p — <pi)dcp =
o
= 3 jqf^|Kl-fz2-^•3;• [3tg£)sin(9?i
— eos {(fi — 992)] 4- 3 tg Q + xj
Momentet av triangeln (y — 1) är
M2 = I x [(1 -f x2) 2tge • sin- fø — <p2) — 1]
6
Momentet av enbart den utskurna jordmassan är
M = Mi — Ms
Vidare gäller likheten
(x =) To eos (fi = r0 e*1 tgi’ eos {(fi — rpz)
vilken kan omskrivas till
In eos 992 — In eos (<pi — <p2)
tge =
<P 1
För ett visst värde på q och ett visst värde på x
erhålles omedelbart <p.2 ’= arc tg * och därefter
genom passning ur uttrycket för tg q, varpå
tillhörande M kan beräknas. Ny räkning för
annat värde på x göres tills man funnit Mmin — x
för ifrågavarande värde på q. Det sålunda
erhållna sambandet mellan o och x återges i fig. 3.
A
få
° >nai-Uens frikhonivinkel
Y » » At
ro-Jt- P
^ ^7yJ^
a-fd
Fig. 3.
Markytan belastad
med
godtyckligt fördelad
last P. Dia-
gram för bestämning av markens erforderliga
friktionsvinkel för att glidning längs en logaritmisk spiral genom
laststräckans ändpunkt skall förhindras samt för
bestämning av glidytans läge. Diagrammet är ritat med
friktionsvinkeln q som oberoende variabel.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
