Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 30. 29 juli 1944 - Astronomisk matematik — sfärisk trigonometri, av Knut Lundmark
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
(888
TEKNISK TIDSKRIFT
Denna ekvation svarar mot den första i system
(3), och här ha sidorna bytt plats med vinklarna.
Cyklisk permutation ger systemet
sin A eos b <= eos B sin C + sin B eos C eos a
sin A eos c = eos C sin B -f- sin C eos B eos a
sin B eos c s= eos C sin A + sin C eos A eos b
sin B eos a ~ eos A sin C + sin A eos C eos b
sin C eos a <= eos A sin B + sin A eos B eos c
sin C eos b •= eos B sin A + sin B eos A eos c
(6)
Om dessa ekvationer divideras med
motsvarande i system (3) få vi
sin a cot b <= cot B sin C + eos C eos a
sin a cot c = cot C sin B + eos B eos a
sin b cot c <= cot C sin A + eos A eos b
sin b cot a = cot A sin C + eos C eos b
sin c cot a <= cot A sin B + eos B eos c
sin c cot b <= cot B sin A + eos A eos c
(7)
För att nå fram till det ekvationssystem, som
svarar mot (2) och där vinklar och sidor således
ombytts, eliminerar man ur (6:1) och (6:4)
sin A eos b och får då följande ekvation
sin B eos a t= eos A sin C + eos C (eos B sin C +
+ sin B eos C eos a) s= eos A sin C +
+ eos B eos C sin C + sin B eos a coss C
Men denna kan skrivas
eos A sin C<= — eos B eos C sin C +
-f- sin B eos a sin2 C
Här divideras bort sin C och cyklisk permutation
genomföres, så erhålles systemet
eos A t= — eos B eos C + sin B sin C eos a
eos B f= — eos C eos A + sin C sin A eos b (8)
eos C <= — eos A eos B + sin A sin B eos c
Grundformlerna kunna specialiseras, så att de
gälla rätvinkliga sfäriska trianglar genom att en
av vinklarna sättes till 90°. Likaså kunna de
transformeras, så att halva vinklarna förekomma
som argument jämte deras halva summa och
skillnad. På så sätt erhållas de Delambreska eller
Ne per ska formlerna. Dessa äro genom sin
produktform väl lämpade för numeriska räkningar
med logaritmer. Genom att införa två särskilda
lijälpvinklar kunna den första och den andra
formeln transformeras så, att deras högra led få form
av produkter, varigenom de bättre lämpa sig för
logaritmisk räkning. Genom användningen av
räknemaskiner i den omfattning som blivit fallet
i den moderna astronomin föreligger ej längre
samma behov att transformera formlerna i den
för logaritmisk räkning bästa formen.
Differentialformler
Av stor betydelse äro den sfäriska astronomins
differentialformler eller -uttryck. De erhållas
genom differentiation av grundformlerna och för-
enkling av differentialuttrycken genom
användning av grundformlerna. Härigenom uppstå
följande fem grundtyper av differentialformler
da i= eos C db + eos B dc -f- sin b sin C dA
db t= eos A dc + eos C da + sin c sin A dB (9)
dc i= eos B da + eos A db + sin a sin B dC
cot b db + cot C dC t= cot c dc + cot B dB
cot c dc + cot AdA*= cot a da + cot C dC (10)
cot a da + cot B dB •= cot b db + cot A dA
sin B da<= sin A eos c db + eos B sina dC +
+ sin c dA
sin C db = sin B eos a dc + eos C sin fr dA +
+ sina dB
1(11)
sin A dc = sin C eos b da + eos A sin c dB
+ sin b dC
sinA db "== sin B eos c da + eos A sin b dC +
+ sin c dB
sin B dc <= sin C cosa db + eos B sin c dA +
+ sina dC
sin C da = sin A eos b dc + eos C sin a dB +
+ sin b dA
dA i= — eos c dB — eos b dC + sinß sina da
dB>= — cosa dC — eos c dA + sin C sin b db
dC c= — eos b dA — eos a dB + sin A sin c dc
(12)
(13)
Dessa formlers stora användbarhet hänger
samman med att sfäriska trianglar kunna bestämmas
med avsevärd noggrannhet och att ofta
förbättringarna äro så små, att de kunna anses såsom
differentialer i förhållande till grundvärdena.
Delambres ekvationer
Dessa, som svara mot Mollweides ekvationer i
den plana trigonometrin, erhållas genom
addition och subtraktion av ekvationerna (3: 1) och
(3:3).
sin a (sin B + sin C) "= sin A (sin b + sin c)
sin a (sin B — sin C) >= sin A (sin b — sin c)
Dessa skrivas på följande sätt
. a B —C a . B + C
sin 2 eos—eos-sin 9 =
. A . b + c A b — c
= sin-sin 2 eos 2 eos
. a . B —
sin — sm —
. A
sin 2 eos
C
b + c
a
eos - eos
B -f C
2
A . b —c
eos — sin -
Genom samma operation med (4:1) och (4: 2)
erhålles
. a
sin ■ eos
B — C a B + C
— eos-eos—
. A . b + c . A b + c
— sin — sin —-— sin — eos 0—
jd £t st
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
