Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 33. 17 augusti 1946 - Lösning av vissa värmeledningsproblem med Abels integralekvation, av Hans Lottrup Knudsen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
798
TEKNISK TIDSKRIFT
gränsning, blir temperaturen i mediet dubbelt så
stor som angivits ovan.
Det framgår av denna korta översikt över Lörd
Kelvins källmetod att metoden förutom att vara
mycket åskådlig har fördelen att genom enkla
integraloperationer kunna tillämpas på vilket
problem som helst inom det tyvärr rätt snäva
området, där metoden enligt sina förutsättningar
kan användas.
En av dessa förutsättningar är, att källans effekt
som funktion av tiden är känd. Föreliggande
uppsats avser en demonstration av, hur Lörd Kelvins
metod i ett visst fall kan utvidgas till att
användas även då källans temperatur — och ej
källans effekt — är en känd funktion av tiden. Det
fall som här skall behandlas är det
endimensio-nella, dvs. temperaturfältet kring en plan källa.
Om källans effekt w(s) vore känd erhölls genom
att i (3) sätta x<=0 ett uttryck för temperaturen
vid källan
t
I* la C w{s) ,
(4)
Är däremot som i föreliggande fall temperaturen
hos källan en känd funktion h(t) av tiden,
erhålles för bestämning av källans effekt w[t)
ekvationen
t
(5)
Detta är en integralekvation av första slaget med
variabel övre gräns, närmare bestämt en Abelsk
integralekvation. Medan oftast en integralekvation
utgör ett svårlöst problem, kan för Abels
ekvation ett explicit uttryck för lösningen anges.
I sin mest allmänna form är Abels integralekvation
d| o<fx< 1
Denna ekvation har lösningen10
z
sin fxn d (’ f(x)
«(z) =
dzj iz — x)1-’1
dx
(6)
(7)
Detta lösningsförfarande tillämpas på ekvationen
(5), där n = -
w [s) =
21 d
h(t)
dt
(8)
sJjtadsJ \/s — t
o
Genom insättning av det sålunda erhållna ut
trycket för w(s) i (3) finner man uttrycket för
temperaturfältet kring den plana källan.
Ett par exempel belyser metodens användning.
Genom en ledare i en kabel tänkes från
tidpunkten noll flyta en konstant kortslutningsström.
Om ledaren är grov stiger temperaturen under
kortslutningstiden ungefär proportionellt med
tiden till följd av ledarens stora värmekapacitet.
Då värmevågen under samma tidrymd endast
tränger in i ett tunt skikt av isoleringen, kan
ledarens yta betraktas som plan och isolerskiktet
som ett halvoändligt medium. Problemet är
sålunda identiskt med det genom (3) — (5) givna
problemet för
h(t)
\kt
t<o
o<t
1
(9)
där k är en konstant. Faktorn — på ekvationens
högra sida bortfaller som tidigare förklarats, då
mediet är halvoändligt. Av (8) beräknas
/ \ kÅ d r t 2 kk ,-
w {s) = -= — -d t = • V s (10)
\jta ds J \JS — /
Av (3) erhålles därnäst genom insättning av w(s)
t
,t) = ~k fi/—^—e (11)
71 J V t-S
Detta uttryck kan t.ex. uträknas genom grafisk
integrering.
Temperaturfältet efter kortslutningens
upphörande erhålles genom att till uttrycket (11)
addera det mot temperaturfunktionen
(12)
svarande temperaturfältet, där r är
kortslutningsperiodens längd. Summan av
temperaturfunktionerna (9) och (12) ger nämligen det i fig. 1
visade förloppet av temperaturen hos ledarna
såsom förutsatts enligt det tillämpade idealiserade
betraktelsesättet.
Om kortslutningen är av mycket kort
varaktighet, kan det vara fördelaktigt att räkna
kortslutningen som varande momentan. Temperaturen
hos ledaren antas alltså uttryckt genom
h(t) =
som visats i fig. 2.
fo
l T
t < o
o < t
(13)
Fig. 1. Temperatur hos
ledaren i en kabel vid en
kortslutning av
varaktigheten x.
Fig. 2. Temperatur hos
ledaren i en kabel vid en
momentan kortslutning.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
