Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 3. 18 januari 1947 - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
18 januari 194 7
71
Ex. n ,= 2 3 4 5 6 16
2 = 3 7 15 31 63 2147483647
Lösningar av denna form har insänts av B Almén, B
Wiberg, E Lindfors (Helsingfors), T Ygge, F Dahlin, T Krog
(Drammen), Y Lovin (Sarkola, Finland), E Genberg,
N F Enninger samt sign. E Hn, sign. Ög, B Arnell. L
Ahl-gren jämte en anonym problemlösare har kringgått
räkningen genom följande enkla resonemang:
Har sökaren endast en lampa, finnes två
markeringsmöjligheter, i det att lampan kan vara antingen tänd eller
släckt. Utökas tablån med en lampa, kan också denna
vara antingen tänd eller släckt, varav följer att antalet
markeringsmöjligheter fördubblas. På samma sätt
fördubblas möjligheterna för varje nytillkommande lampa.
Med n lampor har man alltså 2n
markeringskombinationer. En av dessa bör dock undantas, nämligen den när
alla lampor är släckta. Signalbildernas antal blir sålunda
2» — 1. ____
Rättelse: Mot den i Tekn. T. 1946 h. 49 publicerade
lösningen till problem 10/46 (Vattenrännan) har från ett
flertal håll ingivits protest. Som man torde erinra sig gav
räkningen till resultat att rännans profil blev en sinuslinje
och det är just detta som väckt misstankar. Tangenterna i
inflexionspunkterna (som ju ligger i rännans kant) kan vid
en sinuskurva aldrig bli vertikala, varav följer att
spänningen i plåten alltid har en mot rännans mittplan riktad
komposant. Om kanterna upphängdes glidbart, skulle de
sålunda sträva att åka ihop, varigenom rännan komme att
tömma sig uppåt — ett intressant element i ett perpetuum
mobile!
Slutsatsen av detta resonemang är att rännan ej
generellt kan ha formen av en sinuslinje. — Felet visar sig
vid närmare granskning ligga i härledningen av den första
jämviktsekvationen
di
(S eos v) i= 0 vilken sålunda är oriktig.
Eftersom vattentrycket i varje punkt verkar som en
normalkraft mot bandet, kan några tangentialkrafter ej
uppstå, varför spänningen S i bandet i stället blir konstant
längs hela profilen.
Om vätskans sp. tyngd är k kan jämviktsekvationerna
för det med svart utfyllda elementet skrivas:
Horisontellt: S d (eos v) <= ky dy (1)
Vertikalt: S d (sin v) e= ky di (2)
Den första ekvationen kan omedelbart integreras:
*y2 it \
2 (la)
S (eos v
-Den andra kan skrivas:
eos Vo
S
ky
då
eos v dv
dj
cosa v
dv
eos2 v
Eftersom
1 , . dy
eos v – ____och t g v = —"
\/l + tg*y di
kan (2 a) omformas till
ky
Misrr
ju
d*y
dt*
vilket igenkännes som uttrycket för kurvans
krökningsradie. Vi skriver därför
= r (2 b)
ky
Vidare är ky likamed vätskans tryck j> på ytenheten,
varför
S = pr
Ekv. (2) leder till en elliptisk integral, som här för
omväxlings skull skall lösas genom approximation. Först
sökes ett uttryck för £ som funktion av y. Vi skriver
11§.= dy = ctg v ■ dy
i = Jclg v ■ dy (3)
I ekv. (3) är dy differential. För vår approximation delar
vi därför upp kurvprofilen i ett antal horisontella och lika
tjocka skivor, vardera med höjden dy. Först uppskattas
vinkeln Vo, därefter uträknas eos v, sin v, ctg v och -r——
sin v
för varje intervall dy, varpå integralen £ >= f ctg v ’ dy
enklast beräknas medelst Cöte’s formler (för vilka en kort
redogörelse i artikelform senare torde komma att lämnas
i Tekn. T). — I närheten av kurvans lägsta punkt stöter
vi på svårigheter, eftersom ctg v här går mot oO- Här
omskrives för den skull ekv. (2) på följande sätt
y
dv
(2 d)
varefter beräkningen av x kan fullföljas.
För rektifikation av bågen b har vi
du
sin v
db
-P-
! sin v
dy
(4)
Här är åter dy differential, varför samma beräkningsgång
som för £ kan användas.
Slutligen återstår att beräkna tvärsnittets area A.
Eftersom krafterna S vid upphängningsställena är de enda som
uppbär rännans innehåll, kan man genast skriva
A .= 2 S sin Vo (5)
Värdena på x och A återföres nu till b och bs som enhet
vid varierande v0. Beräkningen utfördes för v0 i= 65°, 70°,
75°, varvid Amax = 0,1566 b2 erhölls för v0 <= 71°20’.
Härvid blev o (,= rännans höjd) = 0,3352 b och x .= 0,6426 b.
Ovanstående beräkning har insänts av dr-ing. E
Palmblad. Hrr E G Eriksson och A Lindsjö har utfört
motsvarande räkning med tillhjälp av elliptiska integraler,
varvid följande värden erhölls:
Amax ■= 0,157 b2\ x = 0,643 b
Till samma reviderade värden har även sign. Ög kommit.
S Sundén, som likaledes funnit x i= 0,643 b, påpekar att
rännan — om dess kanter ledbart fästes i varandra —
får i princip samma form som stållinjalen i problem 6/42.
Problem 1/47: I en punkt på axeln till en cirkulär,
järnfri magnetspole önskar man erhålla en viss
magnetisk fältstyrka. Spolens inre minimidiameter är given,
likaså strömtätheten i tråden. Vilken allmän form skall ges
åt lindningens tvärsnitt för att trådmängden skall bli ett
minimum? A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
