Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 8. 22 februari 1947 - Insänt: »Oanvänd matematik», av Sven Svantesson och Jarl Salin
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
198
TEKNISK TIDSKRIFT
ultima objektet för de "rent" matematiska utredningarna
den fysiska verkligheten och dess mer eller mindre exakta
relationer. Därmed står även klart, att just det, som Salin
och majoriteten av rena matematiker med honom förnekar
är sant, nämligen att "formelskrivningsspelet är ett
symboliskt uttryck för verkligheten"*. Och, om något, så är
det väl det klara fastställandet av detta faktum som skall
kunna skänka den matematiskt studerande, han må nu
vara akademiker eller tekniker, ett levande, gärna själviskt
intresse för matematiken och sålunda möjliggöra och
befordra fostran av självständiga tänkare i stället för
matematiska automata.
Något tidigare säger Salin: "Svårigheterna att förstå de
matematiska begreppens natur beror säkerligen till en del
därpå att man inte frän början gör en klar åtskillnad
mellan d ena sidan den med vissa skrivtecken enligt vissa
regler opererande rena matematiken och d andra sidan
sådana företeelser och föreställningar som mer eller
mindre fullständigt kan beskrivas genom att använda detta
strängt regelstyrda formelskrivningsspel som uttrycksform.
Dessa två sammanblandas..." (kursiveringarna äro mina).
Likheten emellan dessa Salins satser och följande,
tidigare publicerade1 är slående: "Till sist visas att gängse
matematik utan åtskillnad sammanblandar fysiska och
metafysiska begrepp samt att, medan den tillämpade
matematiken är väsentligen fysisk, den rena matematiken är
väsentligen metafysisk." Enligt sist citerade arbete är det
emellertid inte endast "från början" utan alltjämt inom
matematiken som ingen åtskillnad göres emellan nämnda
kontradiktoriska begrepp, som sammanblandas och på
vilka samma spelregler tillämpas utan erforderliga
försiktighetsåtgärder. För att ytterligare belysa dessa saker
tar jag mig friheten att ur nyss citerade arbete ytterligare
citera: "Den rena matematikens existensberättigande
påvisas ligga däri att den — uppbyggd av metafysiska
element, referens- eller riktbegrepp — kan tjäna som ett
enkelt och effektivt referenssystem" samt "Men den rena
matematiken, som väsentligen torde utgöra en den
till-lämpade matematikens abstraktion, har ..."
Med hänsyn till Salins uppsats och därpå följande
diskussion torde ytterligare tilläggas att förvisso torde den
som vill förstå matematik vara hemma i tänkandets former
och lagar dvs. kunna vara logisk. Men liksom klassisk
och gängse matematik har syndat genom att ej göra
åtskillnad emellan fysiska och metafysiska begrepp så har
klassisk och gängse logik inklusive logistiken eller den
symboliska logiken syndat på samma sätt. Så t.ex. definieras i
"Principia Mathematica"2 identitet med en proposition som
något förenklad lyder "om A innehåller B och samtidigt
B innehåller A så är A och B identiska". Wittgenstein3
framhåller med anledning härav att det är meningslöst
att säga att ett ting är identiskt med sig själv och nonsens
att säga att två olika ting är identiska. Men dock är det
absoluta begreppet "identitet emellan olika ting"
berättigat och nödvändigt för den rena matematikens bestånd
och utveckling. Med Wittgenstein instämmer jag endast
så till vida att jag anser absoluta identiteter otänkbara i
den fysiska världen ehuru väl sådana äro tänkbara
metafysiska realiteter. Nonsense i en värld kan vara sense i en
annan.
Ett annat exempel på bristande tankeskärpa i den
symboliska logiken synes vara av intresse i detta
sammanhang. Man talar om en klass som något som innehåller
vissa föremål. Därefter definieras en "nollklass" som
utges vara en klass som icke innehåller några som helst
föremål. Den fullständiga definitionen på denna nollklass
blir sålunda "något som innehåller föremål som samtidigt
icke innehåller några eller något som helst föremål".
Självemotsägelsen är klar. "Begreppet" är logiskt oförsvarligt
och har icke plats i vare sig en fysisk föreställningsvärld
eller en metafysisk idévärld. Ur fysiska synpunkter kunna
* Den fysiska verkligheten.
vi emellertid väl tänka oss en nollklass vilken skulle vara
den klass som innehåller ur relevanta synpunkter
obetydliga eller oväsentliga ting.
Ett diskussionsinlägg av detta slag medger icke ett
uppklarande av allt det dunkla som kanske särskilt sedan
Cantors tid översvämmat matematikens annaler. Må jag
emellertid tillåtas uttrycka den förhoppningen att man
mera genomgående iakttar skillnaden emellan A och "icke
A". Göres detta så vågar jag förutspå att den bittra fejd,
som sedan Cantor och Kronecker rasat på matematikens
höjder emellan formalisterna med den troende Hilbert och
"bolsjevikerna"4 med tvivlarna Brouwer och Weyl som
mest framstående samtida representanter, snart kommer att
avgöras — till de senares förmån. Efter detta avgörande
föreligger ett ofantligt arbete innebärande en efterlängtad
matematikens sanering, vartill knytes den förhoppningen
att icke blott en renare matematik men jämväl en begriplig
och odogmatisk dvs. en otvunget användbar och använd
matematik skall framväxa. Sven Svantesson
Litteratur
1. Svantesson: Tractatus Mathematicus. Stockholm 1945.
2. Whitehf.ad & Russel: Principia Mathematica. Cambridge 1925.
3. Wittgenstein: Tractatus Logico-philosophicus. London 1922.
4. Ramsey: The Foundations of Mathematics. Proc. London Math.
Soc. ser. 2, bd 25, del 5, aug. 1926.
Det avskräckande exempel som ingenjör Sven Svantesson
vill ge på vad formalistiska kalkyler kan leda till, berör
ej mig. Det säkerligen även av Svantesson kända
formel-skrivningssystem, jag brukar hänge mig åt, tillåter
nämligen ej att man utbyter resultatet av en kalkyl enligt
vänstra membrum av (1) mot resultatet av en kalkyl enligt
högra membrum (med något visst antal termer i summan)
om det ej kan göras evident att tillskottet genom en
utökning av summan med flera termer säkert blir absolut
taget mindre än vad noggrannhetsanspråken för det
betraktade fallet kräver. Genom att visa att brott mot
systemets regler leder till motsägelser, kan Svantesson
naturligtvis ej påvisa motsägelser i systemet.
Svantesson vill att den tillämpade matematiken skall
uppfattas som ett symboliskt uttryck för "den fysiska
verkligheten" (>= sinnesförnimmelser?) och den rena
matematiken som motsvarande beskrivningar av genom
abstraktioner bildade metafysiska föreställningar. Det är
enligt min mening just försök att uppfatta matematik på
dylikt sätt som medför de välkända förståelsesvårigheterna.
Till sådana försök att bilda sig slutligen omöjliga
föreställningar lockas de unga genom missgrepp redan vid den
alldeles elementära matematikundervisningen. Det första
av dessa anser jag att man gör då man presenterar
siffrorna 1, 2, 3,... som symboler för antal. Utan tanke på
svårigheterna att senare gå vidare i denna riktning
introducerar man härigenom just det av Svantesson
förordade betraktelsesättet, enligt vilket de matematiska
utredningarna tänkes hänföra sig till begrepp ur vår
erfarenhetsvärld, idealiserade och generaliserade genom
abstraktioner och — antagligen närmast blott för enklare
beskrivningars skull — symboliserade genom vissa
skrivtecken. Denna grundinställning accepteras med lätthet så
länge fråga är blott om antalsbegrepp, som även barn lätt
kan bilda sig genom att abstrahera från olikheter i övrigt
hos framförda grupper av föremål e.d. Att det vidare kan
vara praktiskt att symbolisera dessa begrepp med vissa
skrivtecken förstår också barn.
Svårigheterna att gå vidare med denna uppfattning av
matematiken framträder emellertid redan då bråken
införes. De unga hjärnorna har nu ej lika lätt att genom
abstraktioner ur sitt iakttagelsematerial få fram det, som
man förstår åsyftas med de nya sifferkombinationerna.
Genom att stifta bekantskap med en mängd
tillämpningsexempel tycker man sig dock småningom få en aning om
vad det nu är fråga om. Att det nya begreppet i själva
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
