Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 26. 28 juni 1947 - Beitrag zum Sandfangproblem, av Bertil Stendahl - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
2<S juni 1947
559
vattnet, oberoende av dess variationer i mängd, alltid
håller en konstant hastighet vid passerandet av
sandfånga-ren. Detta mål har förf. sökt uppnå genom att vid
sand-fångarens utlopp utforma väggarna på visst sätt till en
"Staukörper".
Efter en kortare inledning följer i en teoretisk del de
fysikaliska grundlagarna för sedimentering och en
matematisk beräkning av "Staukörper". I den därpå följande
försökstekniska delen redogöres för försök med
renvatten tillsatt med sand samt med avloppsvatten. Till sist
skildras olika möjligheter att tömma sandfångaren.
Undersökningens resultat är överskådligt uppställda och
förtjänta att uppmärksammas. Bertil Stendahl
Problemhörnan
Eftersom polygonens längd är
1 -q
gäller för tyngd-
punktskoordinaten z
1 I __11 + jq]
1— QZ 1 — Zoll — Q 2 1 — iqV
IQ
varav
7 = -1 + 9
2(1+ q*)
dvs. samma resultat som ovan.
(i +/«»)
S Sundén har valt att behandla det allmänna fall, vid
vilket delsträckornas successiva element bildar vinkeln <p
med varandra. En dylik polygon kan, som fig. 2 visar,
Problem 5/47 var följande: "Bestäm tyngdpunkten hos
en på sätt fig. 1 visar i räta vinklar bruten sträcka där
elementlängderna bildar en oändlig geometrisk serie."
Delsträckorna betecknas med 1, q, q2, q3 etc. och
koordinaterna för den sökta tyngdpunkten T0 med x0 och y0.
Utan serieanalys kan uppgiften lösas om man härjämte
betraktar den (likformiga) delfigur som uppstår om den
första delsträckan (1) tas bort. Koordinaterna för
delfigurens tyngdpunkt, Tlt betecknas med xx och yt. Av
likformigheten följer att
yi>=qx» (1)
1 — x1i=qy0 (2)
1 - q
Längden hos resp. "spiraler" är – och
1 — q 1 -
moment omkring koordinataxlarna, erhåller man
1
1
1-9
yo =
Xo =
1 -q
q
yi
Tas
(3)
(4)
1 -q
Genom kombination mellan (1) och (3) samt (2) och (4)
erhålles
1 q+ 1
Xo =
yo =
2 q* + 1
Si 9 + 1
2 ’
q4 + 1
Enligt denna metod har uppgiften lösts av Wolmar
Fellenius och E Nilsson.
Sign. ög har studerat problemet med tillhjälp av
komplexa koordinater. Om delsträckorna numreras 0, 1, 2, 3 . . .
kan koordinaten för den n:te sträckans ändpunkt skrivas
i + jq + iq2 + lqz + •••• +7qn
Den J7:te sträckan har tyngdpunktskoordinaten
i + jq + jq* + •••• + Jqn~1 + \ Jqn
och statiska momentet omkring origo
qn (i + 79 + Jq% + •••• + Tqn~1 + { Jqn)
dvs.
qn
__1 1 + ig
1 -jq 2 1 — jq
jL_
i q
Fig. 2.
enklast uppritas genom att man utgår från
asymptotpunkten P och härifrån drar strålarna PA, PB, PC osv.,
varvid varje stråle bildar vinkeln <p med den närmast
föregående. Om sträckorna PA, PB, PC etc. bringas att
avta i proportionen q, blir alla deltrianglarna likformiga,
varav följer att polygonen ABCD. . . erhåller de i
problemet förutsatta egenskaperna. — Skulle densamma från
början vara given, finner man enkelt P som
skärningspunkten mellan två cirklar innehållande kordorna AB och
BC, varvid dessa kordor skall motsvara periferivinkeln cp.
Om AB tas bort, är den återstående polygonen likformig
med den ursprungliga i skalan q och vriden vinkeln <p i
positiv led. Beträffande tyngdpunkterna T0 och 7\ kan
sägas att PT1i=q’PT0 och att vinkeln T0PTx\=<p.
Sträckan AB, vars tyngdpunkt ligger i mittpunkten M, antas
ha tyngden 1. Polygonen BCD ... har då tyngden ^ ^ .
Självfallet ligger T0 på förbindelselinjen mellan 7\ och M,
q
varvid MT0 : T0T1.—
Väljes nu punkten
q
-q
N
1.
så att NA : AB = MT0 : TJ^ t=
: 1, inses att figurerna PMT0TX och PNAB blir lik-
i-q
formiga.
PNAB skall således linjärt förminskas i förhållandet
PM : PN, varefter den erhållna figuren inpassas på sin
plats. Den punkt som då motsvarar A är den sökta
tyngdpunkten T0.
Om <f> i= 90° bestämmes P av skärningspunkten mellan
AC och normalen från B mot AC (se fig. 1).
övriga problemlösare har varit A Norrman, T Ygge,
G Olofsson, H Joss, B Arnell, sign. N E, sig, G G—n och
H L.
Problem 4/47 (tankvagnen) synes fortfarande vålla en
del bryderi. Sign. R Li har räknat ut att reaktionskraften
räcker till för att driva vagnen om strålens kapacitet ökas
från 3 kg/s till 8,6 kg/s, varvid pumpeffekten blir 6 900
W. "Trots ökningen i vattenmängd ligger denna effekt
likväl väsentligt under det i problemlösningen angivna
värdet 9 100 W" skriver sign. — Det bör i stället heta "På
grund au ökningen . ..", i konsekvens med kommentarerna
till den publicerade problemlösningen.
Problemhörnan återkommer i slutet av augusti efter
sedvanlig sommarpaus. A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
