Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 16. 17 april 1948 - Bestämning av de elastiska konstanterna, av Jaakko R Wuolijoki
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
10 april 1948
251
Bestämning av de elastiska
konstanterna
Tekn. dr Jaakko R Wuolijoki, Helsingfors
539.32
Utvecklingen särskilt i flygtekniken liar fört till att
styvhets- och stabilitetsproblem har blivit i viktighet likställda
med egentliga hållfasthetsproblem, och det är icke
sällsynt, att konstruktionens erforderliga hållfasthet är lättare
att uppnå än den nödvändiga styvheten. Därför har
kännedomen om de elastiska konstanterna under de senaste
decennierna blivit allt viktigare, vilket medför, att allt större
krav ställes på metoderna att bestämma dem.
Noggrannheten i mätningen bör vara god och mätförfarandet
sådant, att de resultat man får motsvarar materialets
egenskaper i verkliga bruksförhållanden. Särskilt den
sistnämnda omständigheten har ofta försummats, då det gällt
dynamiska påkänningar. I hållfasthetsläran användes
visserligen redan vid växlande påkänningar motsvarande
"utmattningshållfasthet" men elasticitetsläran har i
allmänhet rett sig med konstanter, bestämda med statiska
metoder dvs. sådana som framträder vid en långsam
formförändring. Materialets elastiska konstanter är ej heller i
samma mån beroende av påkänningens natur och
belastningsantal som hållfasthetskonstanterna. Metallernas
elastiska konstanter är praktiskt tagel oberoende av nämnda
omständigheter, men däremot skiljer sig träts, gummits
och några andra ämnens statiska och dynamiska
elas-ticitetskonstanter rätt betydligt från varandra.
Till bestämning av materialets dynamiska
elasticitetskon-stanter är de på svängningsföreteelser grundade
metoderna mycket lämpliga*. Vid statiska förfaranden är man
nästan alltid nödgad att avstå från de små spänningarnas
område, om man icke vill pruta av på mätnoggrannheten
Däremot öppnar svängningsfenomenen möjligheter till
undersökning av materialets egenskaper i ett område, där
dess elasticitet är mycket nära den fullkomliga. På grund
av tidigare brister i teorin och mätningsförfaranden har
de dynamiska metoderna tills vidare dock ej kommit i
allmänt bruk.
I det följande betraktar vi böjningssvängningar hos en
rak stav, medelst vilka både elasticitets- och skjuvmodulen
alltid låter sig bestämmas oberoende av materialets
struktur.
I sitt berömda verk "Theory of Sound" (1877) anger
Rayleigh differentialekvationen för böjningssvängningar
hos en elastisk stav i formen
c* y
d X*
där y betecknar nedböjningen på avståndet x, då ar-axeln
sammanfaller med den obelastade stavens längdaxel.
Ekvationens vänstra membrum representerar de elastiska
krafterna och högra membrums första term tröghetskraften,
framkallad av den transversella translationsrörelsen.
Integreras ekvationen, som bildas av dessa två termer, samt
upplöses frekvenslikheten med avseende på
elasticitetsmodulen, erhålles formeln
E =
4 7T2 P Q Al*
m4 /
där / betecknar svängningstalet, l stavens längd och m
en av randvillkoren och svängningens ordningstal
beroende tabellerad konstant. Detta är den allmänt använda
approximativa formeln för bestämning av
elasticitetsmodulen. Man märker, att skjuvmodulen G ej ingår i
formeln, varigenom vi ej kan använda den för
bestämning av denna materialkonstant.
Differentialekvationens tredje term tar hänsyn till
stavelementets rotation. Böjningssvängningarna är ju icke
rena transversalsvängningar, utan tvärsnittplanen utför
samtidigt rotationssvängningar omkring en axel vinkelrät
mot zy-planet. Rotationsrörelsens inverkan vid
grundtonen är mycket liten hos slanka stavar, men ju högre
tonens ordningstal är, desto starkare blir den. För att
kunna använda ovanstående formel till bestämning av E
även ur översvängningar, bifogade Rayleigh en
korrektionsterm, vars värde var beroende av svängningens
ordningstal. Med hjälp av hans teori bestämde Grüneisen
flera metallers elasticitetsmodul, men han kunde använda
endast stavens grundton, enär han icke kunde förklara,
varför övertonerna gav mindre E-värden. Han misstänkte
någon felaktighet i teorin.
Redan Saint-Vénant hade i sina undersökningar av
böj-hållfastheten riktat uppmärksamheten på den
glidformförändring, som äger rum samtidigt med nedböjningen,
utom när det gäller den mycket sällan inträffande rena
böjningen. Det oaktat försummade Rayleigh att ta hänsyn
till skärkrafterna, varför hans differentialekvation i själva
verket gällde svängningar hos en stav, som var oändligt
styv mot skjuvning. I detta hänseende blev teorin
full-ständigad först år 1921 av Timoshenko genom att han
till Ravleighs ekvations högra membrum fogade termerna
_ E c*y
g2 I /i c*y
G
* Wuolijoki, J: Uber die gleichzeitige Bestimrnuny des
Elastizitäts-und Schubmoduls an Hand der Obcrtöne eines in Biegeschwingungen
stehendcn Stabes. Helsingfors 1947.
där G betecknar materialets skjuvmodul och fx en av
skjuvspänningarnas fördelning beroende faktor.
För att motsvara verkliga förhållanden borde ekvationen
ännu kompletteras med termer för materialets inre
dämpning, enär staven icke är fullkomligt elastisk, och för
yttre dämpning, som förorsakas av det omgivande
mediets motstånd. Därtill kommer ännu den störande
inverkan, som den med staven svängande delen av mediet
åstadkommer. Om dessa termer tillsattes ekvationen, bleve
den matematiskt så svårhanterlig, att det knappast skulle
löna mödan att tillämpa den på experimentell forskning.
Kompletteringen är emellertid icke nödvändig, ty med ett
lämpligt försökssystem kan man fullständigt kompensera
dämpningsverkan och ta den med i beräkningarna.
I detta sammanhang är det av intresse att undersöka,
huru stort inflytande skjuvkrafterna och rotationsrörelsen
har på frekvensen vid jämförelse med normalkrafternas
inverkan. En rak, i båda ändarna fritt upplagd balk, som
står i böjsvängningar, kan undersökas med hjälp av en
av Timoshenko given partikulär lösning för hans
differentialekvation.
Om stavens tvärsnitt är en kvadrat och längden är 20
gånger kvadratens sida och svängningsplanet
sammanfaller med någondera av kvadratens sidor, får vi följande
procentuella ändringar av f, förorsakade av
rotationsrörelsen och skjuvkrafterna (det med enbart
normalkrafterna beräknade /-värdet betecknas med 100)
Rotationsrörelse Skjuvkrafter
stålstav furustav stålstav furustav
Grundsvängning ____ 0,1 0,1 0,4 1,8
10:e översvängning . . 12 12 50 160
Av tabellen framgår bl.a., att i sista fallet skjuvningen
verkar starkare än böjningen. Med en lämplig
försöksanordning kan man utan svårighet få en stav att vibrera
i svängningar av 20:e ordningen, således är det uppenbart
att böjningssvängningarna ägnar sig bra också till
skjuv-modulens bestämning.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
