Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 27. 6 augusti 1949 - Spelteorin — en ny matematisk grund för nationalekonomi och militär strategi? av Karl-Olof Faxén
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
496
TEKJiTSK TIDSKRIFT
stående. I detta fall är dock matematiska
förväntan för A :s vinst fullt bestämd. Värdena i
tabell 1 kan då tänkas betyda matematisk
förväntan för A :s vinst.)
Om A i detta spel väljer strategi A-l, är det
mest förmånliga för B att välja strategi B-l eller
B-2. Väljer A i stället A-2, blir det bästa för B att
välja B-l, och väljer A strategi A-3, är B-2 den
bästa strategin för B. Om A vid sitt val av
strategier tar hänsyn till vilka möjligheter B har att
minska A:s vinst genom ett lämpligt val av
strategi, finner han, att A-2 är den mest förmånliga
strategin för honom. A får med denna strategi
alltid åtminstone vinsten 2 enheter, oberoende
av vad B gör. Om B i stället tänkes välja först,
och väljer B-l, så blir A-2 bäst för A. Väljer B
strategi B-2, är A-2 den mest förmånliga för A,
och skulle B slutligen välja B-3, blir A-l den
bästa för A. Om B, på samma sätt som A nyss,
tar hänsyn till -4:s möjligheter att öka förlusten
för B, blir B-l den bästa strategin för honom. B
förlorar i detta fall högst 2 enheter.
Om A får välja först, så kan han alltså ordna
det så, att han i vilket fall som helst vinner
åtminstone 2 enheter. Får B välja först, kan han
begränsa sin förlust till 2 enheter men inte mer.
Detta innebär, att A, även om han inte fick välja
först, och B alltså eventuellt valde först, ändå
skulle kunna säkerställa en vinst av 2 enheter.
B kan ju i detta fall inte begränsa sin förlust
till mindre än 2 enheter. Ett resonemang,
motsvarande detta om A:s vinst, kan även föras om
B\s förlust. I det fall, som illustreras i tabell 1,
är alltså A:s vinst och B:s förlust entydigt
bestämda till 2 enheter. Spelet har en entydig
lösning. A tillämpar strategi A-2 och B strategi B-l.
En sådan entydig lösning existerar dock inte
för alla tvåpersons-nollsunimespel. Ett exempel
på detta är den situation, som visas i tabell 2,
där spelarna inte har fullständig information.
Om A i detta spel får välja först, väljer han
strategi A-l. Med denna strategi får han ju
åtminstone 1 enhets vinst, vad B än gör. Om B i
stället fick välja först, så valde han B-3, och A
skulle sedan inte kunna bringa upp B:s förlust
mer än till 2 enheter. Till skillnad från förra
exemplet blir resultatet av spelet alltså olika, be-
\ B A B-l B-2 B-3
A-l 1 1 5
A-2 2 3 4
A-3 1 — 1 1
B A \ B-l B-2 B-3
A-l 4 1 1
A-2 0 3 1
A-3 0 0 2
roende på om man låter A eller B välja strategi
först.
Begreppet "strategi" var ju endast ett
tankeexperiment, ett konstgrepp för att underlätta
den matematiska behandlingen av problemen.
Vid detta tankeexperiment förutsattes, att bägge
spelarna valde strategi före spelets början och
oberoende av varandra, men givetvis med hänsyn
till spelresultatet vid olika kombinationer av
strategier. Begreppet "entydig lösning" hängde
sedan på att det var utan betydelse för
spelresultatet, om A faktiskt kände B:s strategi vid sitt
val, eller om B kände A :s, eller om intetdera var
fallet (jfr tabell 1).
Även om spelet i tabell 1 upprepades ett stort
antal gånger, och A hela tiden använde strategin
A-2, skulle B inte kunna förbättra sin ställning,
även om han med full rätt räknade med att A
även i nästa spel skulle använda A-2. Inte heller
A skulle kunna förbättra sin ställning genom
ett liknande resonemang. Men i tabell 2 är
förhållandena annorlunda. Om B ett stort antal
gånger spelade B-3, och A ansåg sig kunna räkna
med att B skulle göra så även i nästa spel, skulle
det vara förmånligt för A att gå över från A-l
till A-3. Om A sedan spelar A-3 tillräckligt
många gånger för att B skall våga tro, att A även
i nästa spel kommer att spela A-3, så blir det
förmånligt för B att gå över från B-3 till B-l
eller B-2. A skulle därefter övergå till A-l eller
A-2 osv. Spelarna skulle ständigt finna det
förmånligt att byta strategier, allteftersom de kom
underfund om varandras strategi.
Med ett konstgrepp kan emellertid denna
situation bringas under en form, som liknar
situationen i tabell 1. Man antar, att spelarna före
spelets början beslutar sig, inte för en viss
strategi, men väl för en viss kombination av
strategier, där varje enskild strategi ingår med en
viss sannolikhet. En sådan kombination kallas
en "blandad strategi" till skillnad från de "rena
strategier", som förekom i diskussionen till
tabell 1. Om A t.ex. i spelet i tabell 2 beslutade
sig för att använda den blandade strategin A-l,
A-2, A-3 med sannolikheten 1/8 för vardera, och
B för att använda den blandade strategin: B-l
med sannolikheten V», B-2 med sannolikheten %
och B-3 med sannolikheten ’/„, så har man en
liknande situation som lösningen till spelet i
tabell 1. A använder strategierna A-l, A-2 och
A-3 oregelbundet omväxlande med varandra och
vardera i ungefär en tredjedel av alla spel.
Motsvarande gäller för B. Den matematiska
förväntan för A:s vinst kan bildas med hjälp av
elementär sannolikhetskalkyl och blir l1/» enhet.
Även om B för statistik och finner ut, vilka
sannolikheter A använder, eller A vilka
sanno-ligheter B använder, så kan ingendera förbättra
sin ställning. Varje avvikelse, som A gör från de
nyss angivna sannolikheterna, måste leda till en
Tabell 1.
Tvåpersons-noll-summespel med fullständig
information
Tabell 2.
Tvdpersons-noll-summespel med ofullständig
information
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
