Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 11. 18 mars 1950 - Cirkelsågars buckling vid symmetrisk temperaturfördelning, av Einar Lindholm
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
260
TEKNISIv TIDSKRIFT
(Mr)r = R = — d[w"-
(W 4 W\
\R ~ Rif
r — R
v,=*=-z)[ wm +
+ YL
R3
12
eos 2 0 —
W "
R
O
(21)
W’
cos 2 6 = 0
(22)
Genom att insätta allmänna lösningen (18) i
dessa båda randvillkor erhålles ett homogent
ekvationssystem för U, och t/o. Om
determinan-ten sättes lika med noll fås en ekvation, varur
den kritiska temperaturen kan beräknas.
Vid beräkningen av de exakta lösningarna har
det visat sig, att man i serierna (19) och (20)
med mycket god approximation kan försumma
alla termer utom r\ aMrv’, r% hr" och bltirls.
Härigenom bli (19) och (20) linjära funktioner av
ocEhtR2 <xt(l-v2)R2
784 ü
65,3 • h2
och determinanten blir en andragradsfunktion
i x. Om denna löses, fås x = 0,0600. (Giltigheten
av approximationen är undersökt endast för den
valda temperaturfunktionen, ekv. (2). Om
fölen annan sågklinga väljes en annan
temperaturfunktion, är det nödvändigt att undersöka
approximationens giltighet. I
andragradsekvatio-nen har satts v = 0,3.)
Skoglund" har angivit, att den av honom
undersökta sågklingan var instabil vid en
periferitemperatur av 66° och stabil vid 45° och lägre
temperaturer. Instabiliteten yttrade sig genom
att klingan fladdrade starkt.
Om vi i (23) sätter x = 0,0600, et = 10 r’, h •=
= 0,2 cm, R = 20 cm och v = 0,3 fås för
Skoglunds klinga t = 43°.
överensstämmelsen måste betecknas som
tillfredsställande i synnerhet om hänsyn tas till att
Skoglund uppmätt temperaturen ej i kanten utan
7 mm från denna. Extrapolationen måste därför
innebära en avsevärd osäkerhet. Vidare roterade
Skoglunds klinga 2 400 r/m. Genom
centrifugalkraften förbättrades därför klingans stabilitet
något vid experimentet. Det måste anses
önskvärt med ytterligare experimentella
undersökningar av temperaturfördelningen i sågklingor
av olika tjocklek och radie vid sågning i olika
träslag.
Beräkning
av den sträckta klingans buckling i centrum
Beträffande bucklingen i centrum inskränka vi
oss, vilket redan nämnts, till fallet m = 0. För
detta fall kan differentialekvationen (15)
förenklas genom substitutionen
(p =
il IV
dr
och integrering. Därigenom erhålles
1 dep
d 2<P ,
j 2
d r r
dr
+ f ]<P=0 (25)
I denna differentialekvation insätta vi
snittkrafterna (8) och (10) och erhålla härigenom
två differentialekvationer. För r < o fås
(p
(p= 0
med
ocEh ä
" = 2D
För o < r < R fås
med
och
" + -V+T a2-\
r L t
K1 J
9 _ ocEliég1
2 D
, ocEhëg2
P= 2 D–1
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(24)
Lösningen till (26) är besselfunktionen <pt- =
= Ji(ar). Lösningarna till (28) äro
besselfunk-tioner med imaginär ordning och imaginärt
argument, t.ex. Jip (ibr). Dessa ha undersökts av
Bocher0 och tabellerats av Morgan7. För små
(>-värden krävas funktionsvärden utanför det av
Morgan tabellerade området. Dessa beräknas med
serier [Morgan (9) och (10)]. De av Morgan
tabellerade lösningarna betecknas Fp(br) och
Gp(br). Båda äro oscillerande för litet br och för
stort br motsvara de ebr resp. e b’\ Allmänna
lösningen blir därför för q < r < R
<pv = f-Fp(br) + g-Gp(br) (31)
där f och g äro konstanter.
För /* = (>, dvs. i gränsen mellan inre och yttre
området äro randvillkoren följande:
a) Wi = enär den oberoende variabeln är
div
V^Yr
b) <Pi = (fy.
c) (p’i = (p’y.
d) <p"i = <p"v;
(26) och (28) äro identiska för r = q, beroende
på att Nr är kontinuerlig i denna punkt, följer
detta villkor av b), c) och (25), och saknar
därför intresse.
För /• = R, dvs. vid klingans ytterkant, äro
gränsvillkoren bestämda genom att randen där
förutsattes fri:
e) Mr = 0.
f) Ekvivalenta randkraften V = 0. Om detta
villkor utskrives, erhålles en
differentialekvation, som är identisk med (25), om Nr sättes = 0.
Nu gäller emellertid allmänt, att Nr = 0 för r —
saknar detta villkor intresse.
men enär differentialekvationerna
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
