Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 2. 13 januari 1951 - Insänt: Statistiska synpunkter på utmattningshållfastheten, av Börje Langefors, Cyrill Schaub och Waloddi Weibull
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
13 januari 1951
31
Överensstämmelsen sträcker sig emellertid längre än så.
Om vi för varje serierad i tabell 1 beräknar Xmax — X och
X — A’min, uttrycker dessa differenser i delar av för varje
serie gällande spridningsmått o samt därefter bildar
respektive medelvärde, erhålles följande uppställning:
i $ Xmax X Xmin X max % X■ Xm[n
kp/mm2
75 0,06 3,46 3,38 3,29 1,33 1,50
70 0,18 4,05 3,84 3,57 1,17 1,50
65 0,25 4,76 4,27 4,00 1,96 1,08
60 0,21 4,90 4,58 4,20 1,52 1,81
55 0,11 5,12 4,91 4,76 1,91 1,36
52 0,15 5,44 5,21 4,94 1,53 1,80
50 0,27 5,91 5,36 5,06 2,04 1,11
43 0,20 5,83 5,48 5,24 1,75 1,20
46 0,16 5,96 5,81 5,53 0,94 1,75
44 0,25 6,30 6,00 5,53 1,20 1,88
42 0,21 6,39 6,02 5,71 1,76 1,48
Medelvärde: 1,56 1,50
Bortses ifrån den obetydliga asymmetrin, som ej är
signifikativ, erhålles att medelvärdena för största ^respektive
minsta log A7 i varje serie om 9 prov ligger på X + 1,53 o
resp. X — 1,53 o.
Ovanstående resultat överensstämmer praktiskt taget
exakt med vad som kan härledas ur antagandet att
fördelningen p (log N) är normal. Vi kan i detta sammanhang
hänvisa till Cramer: "Mathematical methods of statistics"
(Stockholm 1945) s. 370—378. Att fördelningen p (log N)
vid konstant påkänningsnivå och ett ökande antal prov
per serie närmar sig den normala har bl.a. även visats av
A M Freudenthal i "The inelastic behavior of engineering
materials and structures" (New York 1950) s. 560—573.
Vid Fagersta Bruks centrallaboratorium har i samband
med en undersökning ett större antal (29) provstavar körts
vid konstant påkänningsnivå och pulserande
dragutmattning under samtidig intermittent vattenbespolning.
Materialet utgjordes av ett legerat varmvalsat stål med relativt
hög hårdhet. De erhållna fördelningarna p (N) och p (log
N) var nära symmetriska. Följande medelvärden på N och
log N, spridningsmått o och procenttal inom ± o och ±1,5
o erhölls:
N log N
X ................. 9,13 105 5,94
o ................. ± 2,46 ± 0,13
Spridningsintervall o/o °/o
±a .............. 65,5 72,4
+ 1,5 ø ........... 86,2 86,2
Som synes av dessa värden är fördelningarna p (N) och
p (log N) i detta speciella fall båda nära normala.
Förklaringen till detta fenomen är helt enkelt, att
spridningsmåttet o här är tillräckligt litet, sannolikt beroende på
korrosionens utjämnande inverkan.
Med stöd av det ovan anförda kan vi uppställa den väl
motiverade arbetshypotesen, att vid utmattning vid
konstant påkänningsnivå S fördelningen av värdena p(logN)
är approximativt normal. Fördelningen p_(log N)
karakteriseras därför entydigt av medelvärdet X och
spridningsmåttet o. Är dessa kända kan materialets
utmattningshållfasthet vid ifrågavarande påkänningsnivå och övriga
betingelser statistiskt beskrivas enligt välkända och
vedertagna metoder. Vid provmaterial, som icke är homogent
utan sammansatt av flera delkollektiv, kan uppdelning av
materialet på delkollektiven ske enligt sedvanliga metoder.
För en fullständig beskrivning av materialets
utmattningshållfasthet vid godtyckliga påkänningsnivåer erfordras
därutöver fastställande av sambanden X = f (S) och o =
(p (.Si vilket endast kan ske på experimentell väg.
Man har konstaterat att sambandet X = f (S) resp. S = g
(A) avsatt på dubbellogaritmiskt papper i vissa fall för
stora delar av det studerade området är rätlinigt. Denna
omständighet kan t.ex. illustreras av de av Weibull i
tabell 2 angivna värdena X och S. Inom området 75 Sä S Sä 42
kp/mm2 är sambandet bortsett ifrån värdet S — 75 kp/mm2
rätlinigt, varvid avvikelserna hos de enstaka punkterna är
ytterst små. Att punkten S = 75 ej faller på den räta
linjen sammanhänger med elasticitetsgränsens överskridande.
Denna torde för FB 86 med en brottgräns av 84 kp/mm2
med säkerhet ligga omkring 75 kp/mm2. Bätlinigheten hos
kurvans övriga del är intressant men saknar denna
omständighet principiellt intresse i statiskt hänseende.
Förekommer i ett material under provningens gång av tiden
explicit beroende processer såsom diffussion (åldring,
ut-skiljning, återhämtning etc.) rekristallisation, korrosion,
passoxidation osv. blir sambandet mellan 5 och X mera
komplext varvid ofta flera mer eller mindre rätlinjiga
grenar med olika lutning uppträder på kurvan.
Enligt min bestämda uppfattning utgör de ovan
skisserade sammanhangen allt väsentligt, som kan härledas från
ett empiriskt material rörande utmattningsprovning.
Förutsättning därvid är dock, att brott bör inträda inom ett
ändligt antal belastningar. Vi har för övrigt full frihet och
är ej bundna till en viss form hos sambandet S — g (X).
Är detta i vissa specialfall rätlinigt i ett lämpligt
koordinatsystem accepteras denna omständighet utan att vi
därmed känner oss tvungna att anta en dold naturlag som
orsak till detta fenomen. För varje påkänningsnivå S kan
vi beräkna, med utgångspunkt från X (5) och o (S),
sannolikheten för olika livslängder osv. enligt gängse
statistiska metoder.
Jag är vidare av åsikten att alla därutöver gående, genom
räknemässiga metoder såsom extrapolationer,
gränsövergångar, variabeltransformationer m.m. erhållna, bestämda
gränsvärden och parametrar saknar reell grund.
Cyrill Schaub
De båda ovanstående inläggen ger mig anledning till
följande kommentarer:
Ingenjör Langefors frågar sig om inte en utvidgning av
den statistiska analysmetoden skulle kunna leda till en
minskning av antalet prov. Detta påpekande är alldeles
riktigt. Det är inte heller någon tvekan om, att det lönar
sig att planera provserierna enligt sunda statistiska
metoder. Även tämligen små avvikelser från idealprogrammet
kan medföra avsevärd ökning av erforderlig körtid för att
uppnå en föreskriven precision.
Så långt är jag således ense med Langefors. Men hans
påstående, att man kan minska antalet mätpunkter genom
att öka antalet S-nivåer, kan jag icke alls biträda.
Tvärtom skulle jag vilja påstå, att man skulle ha uppnått större
precision vid bestämningen av P-kurvorna för FB86, om
man fördelat de 99 proven på, låt oss säga, 6 i stället
för 11 S-nivåer. Anledningen till de många S-nivåerna var
en önskan att se, om det fanns någon diskontinuitet i
S—N-kurvan, så som jag trott mig finna i en föregående
publikation, ett förmodande, som jag numera frångått.
Det optimala antalet S-nivåer dvs. det antal belastningar
man skall välja för att uppnå önskad precision med
minsta antal provstavar eller med minsta körtid (vilket är två
olika problem) kan matematiskt beräknas, om man
känner S—V-sambandet och spridningen inom de olika
S-nivåerna. Som exempel på tillvägagångssättet tar jag ett
enkelt fall, i detalj analyserat i ett utmärkt arbete:
"Techniques of statistical analysis" (Statistical Besearch Group,
Columbia University, New York 1947) s. 321.
Man förutsätter:
att S—V-sambandet bestämmes av ekvation
log N = a + b log S
att spridningen är oberoende av S
att man har en viss körtid till sitt förfogande.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
