Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 11. 17 mars 1951 - Insänt: Statistiska synpunkter på utmattningshållfastheten, av Cyrill Schaub och Waloddi Weibull
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
10 mars 1951
231
Slutligen vill jag nämna, att jag hoppas kunna framföra
mina synpunkter på härmed sammanhängande frågor i
ett större sammanhang inom en nära framtid, varför jag
föreslår, att en fortsatt diskussion ajourneras tills dess.
Cyrill Schaub
Jag tror, det skulle vara nyttigt för den fortsatta
diskussionen med en redogörelse för ett sätt att se på dessa
problem, som klarade upp mina begrepp, när jag för åtskilliga
år sedan först började begrunda dem.
Låt oss alltså utgå från en ändlig men stor population
av N individer t.ex. 10 000 provstavar, vars draghållfasthet
X vi vill experimentellt bestämma och statistiskt beskriva.
Varje provad stav låter vi representeras av ett kort. på vars
framsida vi antecknar uppmätt brottgräns. När samtliga
stavar provats, har vi 10 000 kort. För enkelhets skull antas
samtliga värden sinsemellan olika stora, vilket uppnås vid
tillräckligt stor mätnoggrannhet. Korten ordnas nu och
numreras efter stigande värden på A’. Det lägsta värdet
betecknas x1; näst lägsta xetc. På baksidan av kort nr 1
skriver vi F (x,) = 1/10 000, på kort nr 2 F (xe) = 2/10 000
etc. Funktionen F (x) kallas fördelningsfunktionen för A’.
Den är en stegfunktion, som stiger monotont med x.
Uppenbarligen är sambandet mellan x och F (x) entydigt.
Låter man N—>-oo, erhålles en oändlig population med
kontinuerlig, monotont stigande fördelningsfunktion, som
ligger mellan 0 och 1, och som ger den fullständiga
statistiska upplysningen om populationen.
Man inser lätt, att F (x) anger relativa antalet kort, för
vilka A’ < x. Härav följer omedelbart, att. om man
slumpvis drar ett kort ur leken, så blir
Pr (X < x) — F (x) (1)
där symbolen "Pr" utläses "sannolikheten för att".
På samma sätt får man, att
Pr [F (x) < p] = p (2)
Ekv. (2) uttrycker en generell och fundamental egenskap
hos varje kontinuerlig fördelningsfunktion.
Det gäller nu att ur vår väl blandade kortlek dra n kort,
avläsa värdena Xv Xs... X n på framsidan och utan att
vända på korten, gissa sig till värdena F (Xt), F (Xa) . . .
F (X/i) (även betecknade Pt, Pa .. . P») på baksidan. Exakt
resultat erhålles endast om n — N. Så snart n < iV måste
sannolikhetskalkylen tillgripas.
Nu vet vi, att F (x) stiger monotont med x. Om vi därför
ordnar de n korten efter stigande x, så blir de automatiskt
ordnade efter stigande F (x). Av ekv. (2) framgår vidare,
att storheterna F (Xv) är oberoende av varandra och
likformigt fördelade över intervallet (0,1), eller att de är, som
man säger, rektangulärt fördelade.
Dessa förutsättningar gör det lätt att beräkna de
funktioner Fvjn [p), som ger sannolikheten för det v:te av de n
värdena att vara lika med eller mindre än p. Så har t.ex.
P1 fördelningsfunktionen Fi/n= 1 — (1 — p)n. Om vi nu
ett stort antal gånger tar ut n kort ur kortleken, avläser
värdena Pt och beräknar medelvärdet av dem, så skall vi
finna, att detta medelvärde kommer att hålla sig omkring
värdet 1 /(n + 1). Generellt får vi "the expected value" av
Pr = v/(n + 1) med ett spridningsmått o, bestämt av
<? = v (n + 1 — v)/(n + l)2 (n + 2). Osäkerheten i Pr är
ofrånkomlig. Den är betydande vid små n men avtar med
växande n.
Den angivna proceduren anger det rationella sättet att
bestämma det mot Av svarande värdet F (Xv). Enda
invändningen, som kan göras, gäller valet av medelvärdet
som det sannolikaste värdet. Man kunde t.ex. valt
media-nen i stället, men det finns inget reellt skäl att föredra
detta värde framför medelvärdet, som följer en enklare
formel än medianen.
Låt oss nu mot bakgrunden av det anförda granska den
av ing. Schaub angivna metoden och först anta, att endast
en serie t.ex. nr 1 föreligger. Då blir P (xv) = P (xlV) = v/n,
således en i princip lika "formell" storhet som mitt Pr .
Skillnaden är blott, att den ger ett mindre sannolikt värde
för P. Differensen är icke stor. För n — 9 får man för
lägsta värdet i stället för 10 ®/o värdet 11 %> och för det
högsta värdet i stället för 90 ®/o det högst osannolika
värdet 100 °/o. Det må påpekas, att man i litteraturen kan
finna formeln P = (v — 0,5)/n, som är bättre än Schaubs
men icke att föredra framför det rationellare värdet
v/(n + 1).
Föreligger flera serier så som i exemplet, blir, om
undantagsvis Xv sammanfaller med något x,a- fortfarande P(Xv)
= v/n. om man låter v beteckna ordningstalet i den
sammanslagna serien och n dess totala antal värden. Om Xv
faller mellan två xa-värden, sättes dess P lika med det,
som motsvarar det lägre x,-/
värdet.
I stället för xr som icke har något berättigande i detta
sammanhang, kan man likväl välja varje godtyckligt [-x-värde mellan lägsta och högsta x/x-. Varför då inte välja
några eller samtliga xa-värden sammanslagna till en enda
serie? Om man sedan ersätter v/n med v/(n + 1, så har
man kommit fram till den av mig angivna, rationella
metoden.
Vad Schaubs anmärkning mot användningen av
excesskoefficienten beträffar så medger jag villigt, att den är
berättigad. Antalet värden är alldeles för litet för denna
metod. Jag vill t.o.m. gå ändå längre och påstå, att det
föreliggande materialet över huvud taget är för litet, för
att man skall kunna avgöra om fördelningen är normal
eller icke. Jag skall motivera denna nya ståndpunkt med
resultatet från en undersökning, som jag nyligen utfört,
och som inte saknar intresse i detta sammanhang.
Man kan visa, att den av mig föreslagna
fördelningsfunktionen är positivt skev för m < 3,6 och negativt för
m > 3,6. Sätter man m = 3,6, får man en fördelning, som
mycket nära följer den Gausska. Detta framgår av
nedanstående uppställning:
Mellan gränserna ± 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 o
J Gauss 38,3 68,3 86,6 95,4 98,8 99,7 °/o
ligger enligt j w (m= ^ ß7 Q ^ g gg>2 gg>g
För att få ett begrepp om, hur stort n behöver vara, för
att man skall kunna skilja mellan dessa båda fördelningar,
har jag tagit 14 klasser med 0,5 o bredd, beräknat
differensen av frekvenserna, kvadrerat och dividerat med
klassfrekvensen enligt Gauss. På detta sätt får man en
chi-kvadrat, som är proportionell mot n. Den chi-kvadrat, som
uppkommer slumpvis, är oberoende av n. Det finns således
ett n för vilket dessa båda ehi-kvadrater blir lika stora. I
föreliggande fall inträffar det vid ungefär n = 5 600 på
basis av en sannolikhet av 1 : 20 dvs. om man godtar
felbedömning en gång på tjugo.
Vid utmattningsserier synes fördelningen ligga vid ett
värde av ca m — 2. Jämföres denna fördelning med Gaussk,
finner man, att ovanstående kriterium ger ett n = 300.
Säkerligen kan man skärpa provet och därigenom minska
det erforderliga antalet observationer genom att göra
klassindelningen finare. Det är väl icke heller uteslutet, att det
går att finna ett prov, måhända baserat på en jämförelse
av extremvärdena, som är skarpare än det angivna, och
som således skulle kräva mindre antal observationer. Men
säkerligen kommer man aldrig under flera tusen värden
för att kunna skilja mellan Gaussk och den angivna
fördelningen med m — 3,6.
De återstående divergenserna i Schaubs och mina åsikter
ligger i tolkningen av uttrycket "approximativt normal
fördelning". Jag skulle vilja påstå, att denna term saknar
allt innehåll, så länge man inte talat om, hur dålig
approximation, man är beredd att acceptera. Och även då blir
en bedömning subjektiv. Det synes mig mera rationellt,
att, i stället för att betygsätta en given fördelning för sig,
ställa upp två eller flera alternativa fördelningar och söka
fastställa, vilken av dem, som är den sannolikaste, och
sedan hålla sig till den, så länge man inte funnit någon
bättre. Waloddi Weibull
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
