Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 17. 28 april 1951 - Nomogram för beräkningar med sammansatt ränta, särskilt av årskostnader, av B Einar V Sjögren
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
1U april 1951
347
Eftersom S — qn WN (ekv. 3), kan man även skriva
Nomogram för beräkningar
med sammansatt ränta,
särskilt av årskostnader
Civilingenjör B Einar V Sjögren, Göteborg
518.3 : 511.136.3
När man projekterar en anläggning av något slag har
man ofta att ur kostnadssynpunkt jämföra flera alternativ,
som medför olika kostnader vid olika tidpunkter under
anläggningens livstid och som kanske ej ens har samma
beräknade livslängd. Sådana kostnader kan t.ex. vara
inköpskostnad när anläggningen tas i bruk, kostnad för
utbyggnad stegvis under anläggningens livstid,
reparationskostnader och underhållskostnader samt övriga driftkostnader.
Den enda möjligheten att ur kostnadssynpunkt jämföra
sådana olika alternativ är att periodisera samtliga
kostnader över livstiden i fråga, lämpligen genom att uträkna
årskostnaden, och sedan jämföra de olika alternativens
årskostnader.
Definitioner
I det följande kommer att användas tre bregrepp:
nuvärde, slutvärde och årskostnad, som jag nu först skall
definiera.
Nuvärdet av en anläggnings samtliga kostnader under
dess livstid är det belopp, som insatt på ett
ränteavkastan-de konto, när anläggningen tas i bruk, precis räcker till
att bestrida samtliga dessa kostnader.
Vi antar att anläggningens livstid är n år, räntefoten,
uttryckt i decimalbråk, p, och räntefaktorn q = 1 + p, samt
att anläggningen drar en kostnad i kronor av
y0 när den tas i bruk,
y^ efter 1 år,
y2 efter 2 år osv. ända till
y?i efter n år dvs. vid slutet av anläggningens livstid.
Då blir nuvärdet
N = yo + q-1 • yi + q ~2 • y> + .... + q
y»
(O
Slutvärdet av en anläggnings samtliga kostnader under
dess livstid är det belopp, som dessa kostnader har växt
till med ränta vid slutet av anläggningens livstid.
Med samma beteckningar som ovan skulle man få
följande uttryck för slutvärdet
s = qn ■ ijo + q"-1 • yl + qn-* ■ 1/2 + .... + yn (2)
Mellan nuvärdet och slutvärdet råder alltså sambandet
S = qn-N
(3)
Årskostnaden för en anläggning är den annuitet, som
skulle erfordras för att under anläggningens livstid
avbetala lån för anläggningens samtliga kostnader. (Den
första annuiteten inbetalas ett år efter anläggningens
ibruk-tagande och den sista vid slutet av anläggningens livstid.)
Av definitionerna följer t.ex., att nuvärdet av alla
årskostnaderna är lika med nuvärdet av anläggningens samtliga
kostnader eller (vilket är samma sak) att slutvärdet av alla
årskostnaderna är lika ined slutvärdet av anläggningens
samtliga kostnader. Om vi betecknar årskostnaden med Å,
blir alltså
N = q-1 • Å + q-1 • Å + q-3 ■ Å + .... + q~n ■ Å
dvs.
eller
N =
Å =
qn — 1
(9- l) <ln
(g-i)’q"
qn — 1
• N
(4)
Å =
9-1
qn
1
S
(5)
Nackdelar med den numeriska beräkningsmetoden
Att med hjälp av ovanstående formler numeriskt uträkna
årskostnaden för en anläggning, som medför kostnader vid
några olika tidpunkter under sin livstid, är emellertid i
allmänhet ganska besvärligt, som vi skall se av följande
enkla exempel.
En anläggning kan utföras enligt två alternativ:
I: med enheter, som kostar 34 kr. i inköp och har en
livslängd av 40 år.
//: med enheter, som kostar 21 kr. i inköp, har en
livslängd av 14 år och medför kostnader på 3 kr. efter 10 och
14 år, räknat från anläggningens ibruktagatande.
Vilket alternativ ger den lägsta årskostnaden? Räntefoten
antas vara 3 %>.
Alt. I. Enligt ekv. (4) blir årskostnaden
i = (1>03~1) • 34 = °’°?:3’265 . 34 = 1,47 kr.
1,03" — 1
2,265
Alt. II. Här måste man först räkna ut nuvärdet N av alla
tre kostnaderna
21 kr. efter 0 år,
3 kr. efter 10 år och
3 kr. efter 14 år.
Enligt ekv. (1) blir
v = 214- 3 -i___3 =214- 3 4- 3 =
1,0310 1,0314 1,344 1,5125
= 21 + 2,234 + 1,984 = 25,22 kr.
Årskostnaden Å beräknas sedan enligt ekv. (4) till
Å =
(1,03 — 1) • 1,03’*
1,0314 — T
25,22 =
0,03- 1,5125
0,5125
25,22 = 2,23 kr.
Svaret på den uppställda frågan blir alltså: Eftersom
årskostnaden för anläggningen enligt alt. I blir 1,47 kr. och
enligt alt. II 2,23 kr., ger alt. I den lägsta årskostnaden.
Som synes av det ovan valda, relativt enkla exemplet,
lider den numeriska metoden för uträkning av
årskostnaden av följande nackdelar:
den är tidsödande och besvärlig,
den förutsätter tillgång till räknesticka, logaritmtabeller
eller räntetabeller och räknemaskin,
den är svåröverskådlig och ger ingen klar bild över de
olika delkostnadernas relativa inverkan på årskostnaden,
den är så invecklad, att det tar viss tid att sätta sig in i
den på nytt varje gång man skall använda den.
Dessa nackdelar medför ofta, att man drar sig för att
genomföra de numeriska beräkningarna och, där det är
fråga om olika alternativ, träffar sitt val mellan dessa efter
allmänna överväganden, många gånger rent gissningsvis.
Nomogrammets konstruktion
För att undanröja dessa nackdelar har jag konstruerat ett
nomogram, vars princip framgår av fig. 1.
I ett rätvinkligt koordinatsystem är räta linjer dragna
parallellt med y-axeln. Av dessa årslinjer är den längst till
vänster, årslinjen 0, dragen på ett godtyckligt valt avstånd
b från y-axeln. De övriga årslinjernas avstånd från
y-axeln är:
för årslinje 1: q b
2 : (f -b
3: q° ■ b etc.
Vid årslinjernas skärningspunkter med x-axeln är motsva-
rande tidpunkter, 0, 1, 2 osv. år, utsatta, vilka punkter
alltså tillsamman bildar en icke-linjär tidskala (för att ge
en tydlig bild har i figuren räntefoten satts till p = 0,20,
dvs. räntefaktorn q = 1 + p = 1,20). y-axeln är graderad i
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
