Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 7. 19 februari 1952 - Statistisk planering av utmattningsförsök, av Waloddi Weibull
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
158
TEKNISK TIDSKRIFT v
Genom derivering av ekv. (12) får man då
FdFßa = 2 (Fi) — 0
FdF/dm = 2(Fi ■ Zi) = O
FdFß(mb) = 2(Fi ■ Zßi) = O
FdFße = 2 (Fi - Yßi) = O
Om belastningsgrupperna är fem eller sex, kan det
stundom vara förmånligare att utvälja fyra av ekv. (12) för
beräkning av parametrarna samt att beräkna värdena av
Fi enligt ekv. (4) för de återstående ekvationerna.
Storheterna AZi=Fi/m kan anses utgöra fel i Z. Om dessa
fel visar sig små i förhållande till medelavvikelsen hos Zi,
kan beräkningen anses färdig.
Det är dock även möjligt fördela felen på samtliga ekv.
(12) genom att bibehålla värdena på E och B men beräkna
nya värden på a och m med tillhjälp av de båda första
av ekv. (14). Om även i så fall värdena Fi blir för stora,
får man gå den omständligare vägen att lösa ekv. (14).
Derivator av parametrarna
För att kunna beräkna hur fel i de experimentellt
bestämda belastningarna Sj och livslängderna Nj, resp. Xj
[j = 1. 2, 3, 4) påverkar de beräknade värdena av
parametrarna a, m, B och E, måste man först härleda formler
för derivatorna av dessa parametrar med avseende på
Sj och Xj dvs. asj. •. Esj och aXj ... E Xj-
Detta sker genom derivering av de fyra ekv.
Fi = a — mZi— Yi = 0 {i = 1, 2, 3, 4)
erhållna genom insättning i ekv. (4) av de fyra
värdeparen (Yi, Zi) enl. ekv. (7). Härvid beaktas att en variation
i belastningen Sj icke påverkar övriga belastningar Si (i ‡ /),
ej heller någon av livslängderna Ni. Motsvarande regel
gäller för variation i Xj.
Man får sålunda
axi — niXj Zi — 0,43 BXj ml(Ni + B) + ( mNj (15)
+ 0,43 EXjl(Si — E) =< Ni + B (i = j)
lo (i * j)
Den numeriska beräkningen underlättas genom
införandet av koefficienterna k, definierade av ekvationssystemet
kaj - kmj Zi - kßj!(Ni + B) + kEjl(Si - E) = {q |j = j.|j (16)
Jämförs ekv. (15) och (16) finner man att
as/ = 0,43 429 kail(Si — E), mSi = 0,43 429 kmil(Si — E) \
17
BSi= kßi m (Si — E), ESi = kEi(Si - E)
och
aXi = kai m Nil(Ni + B), mXi = kmi m Nil(Ni + B) \
BXi= 2,30 258 kBi Ni/(Ni + B), (18)
Exi= 2,30 258 kEi m Ni/(Ni + B) )
Sätter man alla högra membra i ekv. (16) lika med 1,
finner man att
2 kai = 1,2 kmi = 2 kßi = 2kti = 0
(19)
Dessa formler kan användas som kontroll vid den
numeriska beräkningen.
Andra kontrollformler erhålles, om man betänker att ett
och samma fel A S i samtliga Si måste ge samma fel åt E
utan att påverka övriga parametrar, eller matematiskt
formulerat
A E — 2 Esi A S = A S
varav följer att
2ESi= 1 (20)
och på samma sätt för de övriga parametrarna
2aSi = 2mSi = 2BSi= 0 (21)
Ytterligare kontrollformler erhålles av satsen att ett och
samma fel A N i samtliga Ni, ger felet — A N åt B utan att
påverka övriga parametrar. Härav får man
2 aXilNi = 0,2mXilNi = 0,
2 BXilNi = — 2,30 258, 2 EXi/N
= o}
(22)
Av ekv. (17) och (18) erhåller man lätt
ESilEXi = 0,43 (Ni + B)lm Ni (Si — E) (23)
eller med hänsyn till ekv. (6)
ESi = -(dX/dS)-EXi (24)
Osäkerhet i beräknade parametervärden
Som redan visats är det möjligt att beräkna
parametervärdena med varje önskad grad av noggrannhet ur givna
(Yi, Zi), men man får inte glömma att Yi och Zi är
statistiska storheter med stor spridning beroende på den stora
spridningen i livslängderna (i vissa fall till avsevärd del
förorsakad av utmattningsmaskinen).
Betecknar Si och Xi (de okända) medelvärdena av Si och
Xi och E det värde som beräknats med dessa medelvärden,
så kan man sätta
E = É + 2 E$i (Si — Si)+ 2 EXi (Xi - Xi) (25)
under förutsättning att differenserna (Si — Si) och (Xi —
Xi) är tillräckligt små, vilket inträffar om antalet prov m
är tillräckligt stort.
Enligt kända statistiska lagar1 kan variansen av E
beräknas enligt formeln
- D2 (E) = 2" E*Si D’2 (Si) + 2- E*Xi D2 (Xi) (26)
Betecknar och o Xi medelavvikelserna av 5 och X och
n,- antalet prov vid i:e belastningen, får man
D2 (Si) = O2silm och D*- (Xi) = ö2Xilm och \
o*-E = (2 E*Si o*Si + Z E°-xi °2Xi)lm J
Eller med hänsyn till ekv. (24)
&E = - \&Xi + (d XIdS)2i ■ O-Sill"’] (28)
Om nu s~ betecknar totala variansen i A’, följer att
si* = 0*Xi + (dXldSfi-VSi (29)
och
o*E=*2[E’Xis’i/m] (30)
Om är en draghållfasthet, finns det uppenbarligen
ingen spridning i Ar1. Första termen i ekv. (30),E2Xl • s2i/ni,
måste då ersättas med termen och således blir
o2E = E2s! • ö2Si/"i + 2 [E*Xi S’ilm] (i = 2, 3, 4) (31)
Spridningsvärdena s
Medelavvikelsen s av X vid en given belastning kan
beräknas2 enligt formeln
s2i = D’1 (X) = [2 X2 — (2 X)2ln]l(n — 1) (32)
Detta värde utgör den bästa uppskattningen av det
riktiga värdet av medelavvikelsen och är oberoende av n,
ehuru noggrannheten i uppskattningen växer med antalet
observationer.
Av ekv. (29) finner man att spridningen i livslängd är
sammansatt av två termer, den första bestämd av
provstaven, dess storlek, ytbeskaffenhet etc., den andra av fel
i provmaskinens nominella lastangivning. Då de senare
felen skall multipliceras med faktorn dX/dS, som kan anta
värden större än 20, finner man att maskinen emellanåt
kan få ett mycket större inflytande på spridningen än man
från början är böjd att tro.
Under vissa omständigheter, som t.ex. vid ett studium av
storlekens inflytande på livslängden, är det alldeles
nödvändigt att uppdela spridningen i sina båda termer, ty
den andra termen har intet som helst att göra med
storlekseffekten. Gäller det däremot att planera utmattnings-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
