Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 23. 10 juni 1952 - Tippetoppens teori, av Alfred Liljeström
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
534
TEKNISK TIDSKRIFT
i iy. 2. Snurra med
referenssystem.
Bohr har däremot själv framför allt riktat
uppmärksamheten på det faktum, att om man ser på
tippetoppen uppifrån, när axeln är upprätt, ses
den snurra åt samma håll både före och efter
helomvändningen. Detta innebär att tippetoppens
rotationshastighet efter helomvändningen har
motsatt riktning mot vid starten, att den således
under rörelsen avtagit mot noll och därefter
ändrat tecken. Denna process, i det följande
benämnd den Bohr ska teckenändringsprocessen,
har uppenbarligen något samband med
friktionen, ty processen förlöper snabbare ju strävare
snurrans underlag är; däremot försiggår den
långsammare ju större rotationshastigheten är
vid starten. Bohr har framkastat tanken att
svårigheten med att förklara och finna en formel
för denna teckenändringsprocess möjligen kan
ha sin grund i bristande holonomitet hos
rörelsen.
Existensen av icke-holonoma rörelsefenomen
påpekades av tysken C Heumann på 1880-talet i
samband med rullnings- och pivoteringsrörelser
på strävt underlag, och sådana fenomen har
sedan varit föremål för djupgående studier. Dylika
rörelsefenomen låter sig icke behandlas på
vanligt sätt med Lagrange’s metod. För tippetoppens
vidkommande skulle holonomitetsfrågan bli
aktuell, ifall man ville studera hur tippetoppens
massmedelpunkt rör sig sidlänges. Men vanligen
söker man vid tippetoppens igångsättning
undvika att den rullar iväg bort från åskådaren.
Genom upprepade startförsök brukar man
kunna uppnå att tippetoppen kretsar inom ett snävt
område, så att man inte behöver tänka på någon
sidrörelse hos massmedelpunkten, utan kan
koncentrera uppmärksamheten på den fascinerande
rörelsen kring massmedelpunkten.
Denna rörelse kring massmedelpunkten består
i varje ögonblick av en rotation kring en
momentan axel genom massmedelpunkten, och denna
rotation är sammansatt av tre delrörelser,
nämligen snurrans spinnhastighet (dvs.
rotationshastigheten kring snurrans figuraxel),
preces-sionshastigheten och nutationshastigheten.
Mellan de tre delrörelserna äger en automatisk växel-
verkan rum, och denna växelverkan betingas av
snurrans massfördelning ävensom av dess tyngd
och friktion mot underlaget.
Vid en godtycklig kropps rörelse är
tidsderiva-tan av varje smådels rörelsemängd (dvs.
produkten av smådelens massa och dess
hastighetsvektor) lika med den på smådelen verkande kraften.
Vid en kropps rotationsrörelse kommer därför
de yttre krafternas resultantmoment att vara lika
med tidsderivatan av resultanten till smådelarnas
rörelsemängders moment. Denna sistnämnda
resultant, som korteligen kallas kroppens
rotationsmoment, spelar därför en viktig roll vid
bestämningen av friktionens inverkan på snurrans
rörelse. Lagen om rotationsmomentet gäller även
för komponenterna utefter en godtycklig fix axel
i fixstjärnesystemet och Euler har visat att den
även gäller för komponenterna utefter den
rörliga symmetriaxeln till en symmetrisk snurra.
Lagen om rotationsmomentet jämte
energiprincipen är allt som behövs för att ställa upp
rörelseekvationerna för en snurra, men att integrera
dessa med hänsynstagande till friktionen möter
utomordentliga svårigheter. Genom ett
konstgrepp kan friktionens inflytande på
energiförhållandena knytas till en parameter, varigenom
dessa svårigheter dock kan kringgås. Detta skall
visas i det följande.
Grundläggande storheter
En godtycklig snurra med massan m och
massmedelpunkten O förutsättes vara en rotationskropp med
symmetrisk massfördelning kring figuraxeln, som tas till z-axel
i ett med snurran fast förbundet rätvinkligt
koordinatsystem Oxyz, fig. 2. De tre axlarna utgör principala
tröghetsaxlar i massmedelpunkten (fria axlar).
Tröghetsmomenten i avseende på dessa fria axlar är resp. A, B, C,
varvid A — B på grund av symmetrin.
Genom O tänkes lagt ett i rummet stillastående
rätvinkligt referenssystem OXYZ med lodrät Z-axel. O.XY-planet
skäres av Oary-planet utefter nodlinjen ÖN. Snurrans läge
i förhållande till referenssystemet bestämmes av de tre
eulerska vinklarna: spinnvinkeln <q> mellan Ox och ÖN,
precessionsvinkeln y mellan OX och ÖN samt
nutations-vinkeln © mellan Oz och OZ.
Riksningscosiner för vinklarna mellan de båda
koordinatsystemens axelriktningar kan lätt uttryckas i de
eulerska vinklarna, exempelvis
eos [x, Z) — sin O sin ’go
eos [y, Z) = sin 0 eos <p
eos [z, Z) = eos O
De eulerska vinklarnas förändringar ger tre naturliga
komponenter till snurrans vridningsrörelse kring
massmedelpunkten. Spinnvinkelns tidsderivata <p anger den
spinnhastighet varmed snurran roterar kring sin
figuraxel. Tidsderivatan y> anger den precisionshastighet varmed
snurrans axel utför en konisk pendling kring Z-axeln och
Ö anger den nutationshastighet varmed snurran stjälper
kring nodlinjen. Dessa tre derivator avsättes som
vektorer utefter resp. Oz, OZ och ÖN. De utgör naturliga
komponenter till den vektor o som i rummet representerar
snurrans totala rotationshastighet och vars riktning
sammanfaller med den momentana rotationsaxeln.
Den totala rotationshastighetens komponenter efter snur-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
