Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 23. 10 juni 1952 - Tippetoppens teori, av Alfred Liljeström
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
10 juni 1952
535
rans fria axlar är (oix, <>>y, o>z) och kan uttryckas i de
naturliga komponenterna sålunda
oix = yi eos (x, z) + 8 eos (p — ip sin 8 sin (p + 8 eos q)
dy = ip cos(y, z) + 8 eos {cp + = ip sin 8 eos (p — 8 sin q)
a, — xp eos 8 + (p
Om man kvadrerar och adderar de båda första
ekvationerna får man
oix2 + o),/ = yj^ sin2 8 + ©2 (1)
Rotationshastighetens komponent utefter vertikalen blir
az — ox eos (i, Z) + (0,j eos (y, Z) + co- eos (z, Z) —
— (tp sin 8 sin q> + 8 eos q>) sin 8 sin q> +
+ (V sin 8 eos q) — 8 sin q>) sin 8 eos q> + a: eos 8
eller
coz = xp sin2 8 + coz eos 8 (2)
Rotationsmomentet har i förhållande till snurrans fria
axlar komponenterna
{A ax, A Oy, C ciz)
Komponenten utefter z-axeln betecknas r. Komponenten
utefter vertikalen betecknas R och beräknas på samma
sätt som a>2 genom att tillfoga faktorerna A, A och C till
de tre termerna; man får således
r = C(o3 (3)
R = Ay sin2 8 + r eos 8 (4)
En snurras energi
Samtliga utgångsvärden betecknas i det följande med
index noll, och energierna anges med dubbla värdet, så att
man slipper dra med faktorn V2 överallt.
Utgångsenergin, då snurrans rörelse således startas, är
E0 och består av spinnenergin C<w02, lägesenergin 2 mgZ0
och en överskjutande störningsenergi e0, härrörande från
en mer eller mindre ofrivilligt åstadkommen rörelse hos
massmedelpunkten vid snurrans nedsättning på det
horisontella underlaget
E0 = Cu>0s + 2 mgZü + e0
När snurran utför sin rörelse har den en rotationsenergi
som är Acoxa +A<o1/ + Ccoz3, en translationsenergi mZr
härrörande från tyngdpunktens lodräta höjning eller
sänkning, vidare en translationsenergi mv3 svarande mot
tyngdpunktens eventuella sidrörelse samt en lägesenergi
2 mgZ. Dessutom uppstår en energiförlust ex i form av
friktionsvärme.
Enligt energiprincipen är summan av alla dessa energier
konstant och lika med den totala energi E0 som snurran
hade vid starten. Man får därför energiekvationen
A Ox2 + A a,/ + C o>z2 + mZ2 + mv2 + 2mgZ + ei =
= CcJo2 + 2 mgZo + e0
Massmedelpunktens höjd Z över det horisontella stödplanet
är en funktion av snurraxelns lutningsvinkel 0, Z — f (8),
varför Z = f (8) • 8. Med hjälp av formel (1) kan
energiekvationen därför skrivas
[A+ mf’ (8)2]. & = C (6>o2 — az2) + 2 m g (Za — Z) —
— A yr sinß 8 + (e0 — e1 — mv")
I denna formel kan vänstra ledet uppenbarligen ej bli
negativt, varför 8 endast kan anta sådana värden som gör
högra ledet positivt eller noll.
Energiformeln ger en möjlighet att bedöma den
växelverkan som äger rum mellan snurrans olika
rörelsekomponenter. Spinnenergin Ccof är den ursprungliga
energikällan, genom dess minskning till C (o>03 — <w/) uppstår
precessionsenergin A y2 sin2 8 ävensom vänstra ledets
nu-tationsenergi [A + mf’ (8)2] • 82, vilken betingar snurrans
stjälpning. Lägesenergin lämnar även ett bidrag härtill om
tyngdpunkten sänker sig. Om tyngdpunkten däremot höjer
Fig. 3. Nutationsgränser hos kulsnurra, bestämda av
skärningarna ut och ut mellan den räta linje som representerar
summan av spinnenergi och potentiell energi med
preces-sionsenergins tredjegradskurva; i den förstorade bilden
nedtill anger längden av det grovdragna stycket av
ordinatan mellan kordan och kurvan den energi som står till
buds för fortsatt stjälpning; stjälpningsenergin avtar mot
noll när lutningen närmar sig en nutationsgräns.
sig, ökar lägesenergin på de andra energiernas bekostnad.
Den energi mv3, som förbrukas vid eventuell sidrörelse
hos massmedelpunkten liksom e0 och e± kan i allmänhet
försummas. I de följande formlerna är dessa termer
därför icke medtagna.
Följande beteckningar införs: lutningsmåttet u = eos 8,
rotationsparametern q = r/R, tröghetsmomentet vid
stjälp-ningen J = A + mf’ ( 8)2, relativa måttet på
nutations-AJ ■
energin = Tillämpas formlerna (3) och (4) er-
R
hålles följande uttryck på mitationsenergin
Ee - c U2 - q’l + -R i -(Zo - z) —ri: u2^
/
Tippetoppen
Tippetoppen är en kombination av två snurror, en
kulsnurra, då den med sin sfäriska del stöder mot
underlaget, och en pinnsnurra, då den snurrar balanserande på
sitt skaft.
Om kulans radie är a och avståndet mellan dess centrum
och massmedelpunkten är d, blir massmedelpunktens höjd
över stödplanet Z = a — d ■ eos 8, och dennas
vertikalhastighet Z = d • sin 8 • 8. Man får vidare J = A +
+ md3 sin2 8 och kulsnurrans relativa nutationsenergi
IT A fr* nA+2m9dA(„ „ ^ (!-9«)2
Eø - c Km - q ) + —Ri—(u - Uo) —T= HT
Införs beteckningarna
. A (ro2 \ 2 mgdA p . . (1 — qu)*
får man
Eß = ,/i (u — uo) + A — Fa (u, q)
Detta uttryck på nutationsenergin kan studeras grafiskt,
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
