Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 12. 20 mars 1956 - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
280
, TEKNISK TIDSKRIFT
Problemhörnan
Problem 2/56 lydde: "En klen balk med längden a är
upplagd invid en husvägg och med ena änden vid
husknuten. Den skall bäras runt knuten och placeras i rät
vinkel mot den ursprungliga riktningen, så att motsatta
änden kommer vid husknuten. Vilken kurva skall
ändpunkterna beskriva för att deras bana skall bli den
kortast möjliga? Om denna uppgift befinnes svårlöst, bestäm
i stället minimum för den yta som bestrykes av balken!"
Det torde vara klart att de sökta ändpunktsbanorna
kommer att få ungefär den form som återges i fig. 1 samt att
de bägge kurvbranscherna härvid blir kongruenta.
Vid en liten rörelse hos balken (dr, d<p), vars längd är a,
alstras bågstyckena dst resp. ds2, varvid
dsi == V(dr)* +(rd(p)*; ds2 = V dr* + [(a - r) dyf’
Av symmetriskäl behöver integreringen sträcka sig endast
mellan <p = 0 och <p = jt/4:
71 I 4 _ __.-t/4
J [Vr’* + r* + Vr’2 + (a - r)2] d(p = j F (r, r’) d<p = min (1)
o o
Enligt Euler kan i detta fall (då q> ej ingår i funktionen F)
villkoret för ett extremum skrivas
r’ • Fr’ — F = C (konstant)
där Fr’ betyder partiella derivatan av F med avseende på
f. Härav erhålles efter någon förenkling
(a - r)*
+
= C
(2)
Vr’2 + r* V>+(a-r)’
I princip borde behandlingen av (2) tillgå så, att man löser
ut r’:
r’ = / (r, C) (3)
och efter integrering erhåller
tp = g (r,C) + Cx
varefter konstanterna C och Cx bestämmes av
<p = 0 för r — a samt <p = n/i för r = a/2
Att bibringa (2) den i (3) angivna formen synes dock
Fig. 2.
Uno Olsson har vid sin problembehandling valt
45-gra-derslinjen som polaraxel. Sättes balkens längd a = 2 och
införes x = r — 1, övergår (2) till
(l+x)2 (!—«)*
+
= C =
Vx" + (i + x)« Vx’2 + (i - xy V.
= (2b)
xV+ 1
En approximativ lösning till (2 b) kan erhållas genom att
x? skrives som en potensserie av x, varvid av
symmetriskäl följer att endast jämna potenser kommer i fråga. Det
enklaste sambandet blir härmed antingen
x’ = p + qxr (4)
eller x’ = —-—- (5)
q — xl
varvid (5) förefaller ge den bästa approximationen. Man
finner ur (2 b) för x = 1 att x/ = 2 x0’, varvid (5) ger
q = 2. Härav
dx _ p
~d(p ~ 2 —x2
som efter integrering och konstantbestämning ger
eller
, ^ 20
x3 — 6 x — —
jr
(r l)3 — 6 (r — 1)
<P
20
71
(6)
Hänförd till "horisontell" polaraxel och med r0 = a
antar (6) formen
/2 r \3 nl2r \ 20
b-1) -6(t-I)–.*-6 (7)
Motsvarande kurva är med en prickad linje inritad i fig. 2,
varvid vinkeln vx = v0 beräknats till 46,8°. C antar härvid
värdet æ 0,727 a.
Betydelsen av vt och v2 etc. framgår av fig. 2. Geometriskt
erhålles av (2 a) och enligt figurens beteckningar
h± + h2 = C
För <p = 45° får man h — C/2 varav inses att v0 = v.
För den händelse att kurvans maximipunkt representeras
av <p = 45° — vilket en noggrann grafisk passning synes
ge vid handen — blir v0 — 45° och C = a IV 2.
Ovanstående har återgivits efter ett av sign. ög insänt
lösningsförslag, varvid problemred. utfört den grafiska
passningen.
Den alternativa uppgiften, att bestämma minimum för
den av balken bestrukna ytan, är långt enklare. Man kan
härvid tänka sig att rörelsen sker stegvis: först förskjutes
balken i sin längdriktning ett litet stycke; därpå vrides den
vinkeln d<p, förflyttas ytterligare ett stycke osv. Vid
vridningen med vinkeln d<p omkring en punkt på
ändavstån-det r bestrykes ytan
dA = i [r + (a - r)2] d<p
Detta uttryck har minimum för r = a/2. Man skall alltså
helt enkelt dra balken i dess längdriktning stycket a/2,
därpå vrida den i varv samt slutligen förflytta den
stycket a/2 i den nya längdriktningen. Den bestrukna ytan blir
självfallet Jiaz/8.
Problem 4/56. I ett stort parti radiomotstånd har det
visat sig att i medeltal p °/o har avbrottsfel. Vid
kontrollprovningen förfares så, att man seriekopplar n motstånd
och mäter totala resistansen. Visar provet avbrott,
undersökes varje motstånd för sig. Vilket är det bästa värdet på
n om tidsåtgången för en mätning är k gånger så stor
som den för in- och urkoppling av varje enskilt motstånd.
— Ex. p = 4 °/o; k — 5. A Lg
stöta på oöverstigliga svårigheter; det
är icke ens möjligt att genom några
konstgrepp bestämma vare sig C eller
någon karakteristisk mellanpunkt på
den sökta kurvan, t.ex. dess
maximipunkt. En möjlighet till analys består
dock i "grafisk passning", varvid man
har god hjälp av det förhållandet att
ekv. (2) även kan skrivas
r sin vx + (a — r) sin v2~ C (2 a)
Fig. 1.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
