- Project Runeberg -  Teknisk Tidskrift / Årgång 86. 1956 /
546

(1871-1962)
Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
  Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |   

Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 22. 29 maj 1956 - Statistiska frågor i funktionssäkerhetsanalysen, av Rolf Moore

scanned image

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.

546

•TEKNISK TIDSKRIFT

Statistisk hypotesprövning

Den i föregående avsnitt behandlade uppskattningen av
felet hos medelvärdet var i själva verket ett exempel på
statistisk hypotesprövning, det s.k. 2 o-provet, vilket är ett
specialfall av u-provet2 och kan formuleras sålunda:
"Pröva hypotesen att mediet m av de n stycken uttagna
värdena x med spridningen s avviker mindre än ett visst

belopp <5 från fördelningens "sanna" medelvärde ju, varvid

g

d beräknats ur värdena x som 5 = 2- —— ".

V"

Lösningen lyder: "Hypotesen är riktig med en risk på ca
5 % att utlåtandet är felaktigt."

Risken för felaktigt utlåtande minskar tydligen med roten
ur antalet n, vilket kan begagnas för att bedöma hur stort
n måste väljas för viss väld risknivå p.

Det s.k. /-provet eller Students prov är en förfining av
2 o-provet i det fall att mätvärdena x tillhör en
normalfördelning. Inte ens då är nämligen den nyss med
normalfördelningens £ approximerade storheten

t =

Vn

(32)

exakt normalfördelad, och avvikelsen för små n-värden,
särskilt under n — 6, är betydlig. Detta sammanhänger med
att ju även s är en stokastisk variabel. Tabeller3 och kurvor1
över den exakta /-fördelningen finns utarbetade. De däri
angivna frihetsgraderna / är i exempel av denna tvp lika
med n — 1. Dessa tabeller och kurvor används i övrigt på
liknande sätt som normalfördelningen användes i det nyss
behandlade exemplet.

Bland olika prov2 för statistiskt siffermaterial kan
nämnas Z2-provet, som bl.a. används för att pröva hypotesen
att ett givet provuttag tillhör en viss sannolikhetsfördelning.

Leverans riskkurvor

För varje provtagningsschema som utarbetas
för t.ex. ett leveransprov, är det möjligt att
upprita en leveransriskkurva, ofta kallad OG-kurva
(operating characteristic curve) som direkt
mäter sannolikheten för att man skall konstatera
en viss kvalitet hos ett eller flera provuttag
enligt schemat då man verkligen har en viss
kvalitet hos tillverkningsserien. Kurvan åskådliggör
sålunda risken att få ett parti felbedömt vid olika
verklig kvalitet hos detsamma. Man kan ur
kurvan utläsa tillverkarens risk att få ett fullgott
parti förkastat och konsumentens risk att
godkänna ett undermåligt parti3-12.

Med ledning av ett antal sådana kurvor för olika
provtagningsschemor är det lätt att bedöma hur
provtagningsschemat med toleransgränser, antal
individer per provuttag etc. skall utformas för
att tillverkarens och konsumentens risker skall
balansera på ett ur ekonomisk synpunkt och
funktionssäkerhetssynpunkt lämpligt sätt.

Stegvis provtagning

Stegvis provtagning är en provtagningsmetod
med konfidensproven så att säga inbyggda i
metodiken på sådant sätt att man automatiskt,
allteftersom provningen framskrider, ser om man
behöver ta ut ytterligare exemplar, för att man
med viss förutbestämd risknivå skall kunna
godkänna eller kassera ett parti. I ett
koordinatsystem med antalet prov som abskissa och t.ex.

den successiva summan av mätvärden som
ordinata, drages efter vissa regler två vanligen
parallella, lutande linjer, mellan vilka man till en
början glider fram under provet. När summan
av mätvärdena når ett sådant värde i förhållande
till antalet att man kommer utanför det mellan
linjerna instängda området kan provet avbrytas.
Partiet godkännes om man kommit ut på ena
sidan och kasseras om man kommit ut på den
andra. Stannar man alltför länge mellan de
parallella linjerna träder vissa specialregler i
funktion18.

Antal behövliga prov

Enär spridningen hos medeltalet m för ett provuttag är
omvänt proportionell mot roten ur antalet mätvärden
måste man alltid prova ett av den önskade säkerheten
beroende antal. A andra sidan ökar kostnaden för prov och
numerisk bearbetning om antalet ökar.
Vid uppskattningar med hjälp av "spännvidden", som
endast kan användas då normalfördelning approximativt
råder, lönar det sig ej att ta iner än ca 8 värden per uttag
och man får nöja sig med den noggrannhet man härvid
erhåller. Annars behöver man komma upp i åtminstone ca
10 iakttagelser för att formlerna skall gälla hyggligt eller
för att man t.ex. i de ovan behandlade
hypotesprövningarna skall kunna hålla sig på en betryggande låg risknivå.

I vissa fall, särskilt då det gäller att även bestämma
fördelningarnas form, fordras ännu flera, kanske 100
individer per provuttag.

Vid den stegvisa provtagningen finns särskilda formlerls
som visar ungefär hur många mätvärden man måste ha
för att få utslag hos provet vid den förutsatta risknivån.

Ibland kan man få ganska enkla villkor för en
uppskattning av erforderligt antal mätvärden, trots att man icke
liar att göra med en normalfördelning. Som exempel
väljes här det fall att man med viss säkerhet vill bestämma
medelvärdet /t hos den exponentialfördelning som en viss
serie värden tillhör. Detta fall föreligger t.ex. då man för
funktionssäkerhetsbestämningar vill söka medellivslängden
hos individerna i en grupp på driftprov satta
komponenter eller apparater, som man genom erfarenhet vet har
ex-ponentiell fördelning av tiden till fel eller, i vissa fall,
tiden mellan fel (sedan "barnsjukdomarna" avlägsnats
under en viss "inbränningsperiod"). Här är det ur
kostnads* och tidssynpunkt viktigt att veta hur många fel n
man måste invänta för att få individernas medellivslängd
t/{ vid slumpmässiga fel bestämd med högst en viss
relativ osäkerhet <5 vid en given risk p för oriktigt utlåtande.
Enär exponentialfördelningen är karakteriserad av att
spridningen o är lika med medelvärdet /1 får här den
approximativt normalfördelade och normerade
skillnaden i mellan experimentellt medevärde rm av de enskilda
livslängderna r och det sanna medelvärdet ru utseendet



t ni

T/n —- Ta

O {T,,}

Vn =

fm

Tm — T/t + T t, • —

\n

\Jn

Vn

= r(M( 1 + à)

Den relativa osäkerheten i medellivslängdsbestämningen
är alltså

t

d = 4=

Vn

varav det erforderliga antalet mätvärden blir
■-(tf

där £ för olika risknivå p kan bestämmas approximativt
ur normalfördelningstabellen för större n-värden, n ^ 10,

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>


Project Runeberg, Tue Dec 12 02:40:51 2023 (aronsson) (download) << Previous Next >>
https://runeberg.org/tektid/1956/0566.html

Valid HTML 4.0! All our files are DRM-free