Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - 1957, H. 10 - Framtidens automatiska siffermaskiner, av Herman H Goldstine
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
förutsatts i denna diskussion var den enklaste
"explicita" metoden. För att denna skall
konvergera är det nödvändigt att ett villkor
upptäckt 1922 av Courant, Friedrichs och Loewy2
är uppfyllt. Detta fordrar huvudsakligen att
under en enhet dt av tiden en ljudvåg inte
rör sig mer än en enhet da; i avstånd.
Motsvarande villkor för paraboliska
ekvationer är strängare. Här måste d t inte som
tidigare vara proportionellt mot dx utan mot
d or. Man kan då vänta att antalet tidssteg
kommer att öka avsevärt. Det är möjligt att
undvika denna svårighet genom att ta till mer
komplicerad och finare matematisk teknik.
Denna reducerar antalet tidssteg men ökar
mängden multiplikationer.
Som ett exempel kan nämnas att
Schwarzschild undersökt ett problem rörande en
stjärnas utveckling som innebär lösningen av ett
paraboliskt system i en tids- och en
rumsvariabel. Hans beräkning innehåller ungefär
5 • 105 multiplikationer per tidssteg och
kommer att kräva kanske femtio sådana per stjärna.
Han överväger att göra detta arbete för tio
stjärnor.
Detta ger totalt för ett ganska besvärligt
paraboliskt problem 2,5 • 108 multiplikationer utan
kontrollräkning och 5 • 10s med kontroll. Den
totala lösningen kommer alltså att ta en tid
motsvarande ca 1,5 • 109 multiplikationer. Detta
är jämförligt med vad vi nyss såg vara
behövligt för ett tredimensionellt hyperboliskt
problem.
Det paraboliska fallet är alltså minst lika
arbets- och utrymmeskrävande som det
hyperboliska och kanske värre.
Elliptiska ekvationer
För en typisk elliptisk ekvation behöver vi
ca 20 punkter per sida i vårt gitter. För
meteorologiska studier gjorda vid Institute for
Advanced Study i Princeton i USA använder
man ett sådant nät med 20 punkter per sida
för att täcka hela USA. Ett tvådimensionellt
problem innebär alltså 400 punkter och ett
tredimensionellt 8 000 sådana.
I ett elliptiskt system uppställs för varje
punkt en ekvation som ger värdet av den
beroende variabeln där uttryckt i ett visst antal
av motsvarande värden i grannpunkterna.
Antalet grannar är vanligen fyra. Man har alltså
system av antingen 400 eller 8 000 simultana
ekvationer i lika många obekanta. I det
elliptiska fallet innehåller matrisen för systemet
ett stort antal nollor och är på inget sätt den
mest allmänna men mängden arbete är
fortfarande mycket stor.
Vanligtvis löser man system av detta slag
genom en successiv iterationsteknik som
kallas för relaxationsräkning och som kräver
upprepade användningar av en matris förbunden
med systemet tills de successivt erhållna
vektorapproximationerna ger den önskade
lösningen med tillräcklig noggrannhet.
Med system som jag har prövat räcker
vanligtvis 20 relaxationer för ett system av 400
ekvationer. Om vi antar att vi har fem
element som inte är noll per rad i vår matris av
ordningen T = 400 eller 8 000 behöver vi
400-5-20, dvs. 4 • 10* resp. 8 000 • 5 • 20 = 8 • 105
element. Antalet multiplikationer per term kan
naturligtvis variera avsevärt från noll för
Laplace^ ekvation till ett mycket högt antal för
icke linjära elliptiska ekvationer. Trettio
multiplikationer per term är ett icke orealistiskt
antagande.
För ett typiskt tvådimensionellt problem
behöver vi alltså 4 • 104 • 30, dvs. 1,2 • 108
multiplikationer; med kontroll m.m. blir detta
2,4 • 108 och med en ekvivalensfaktor av 3 för
övrigt maskinarbete ungefär 7,2 • 10®
multiplikationer. Vårt utrymmesbehov i minnet är
1—2 storheter per punkt, således endast 400
—800 ord.
Motsvarande siffror för ett jämförbart
tredimensionellt problem är minst tjugo gånger
så stort, dvs. 1,4 • 108 multiplikationer och ett
utrymmesbehov på 8 000—16 000 ord.
Integralekvationer
Läget för integralekvationer motsvarar det
elliptiska fallet utom i det att antalet
multiplikationer liksom fordringarna på
minneskapaciteten ökar mycket snabbt. Lösningen av
sådana problem innebär vanligtvis att man
ersätter de kontinuerliga variablerna med
diskreta variabler och sedan inverterar en
matris av hög ordning.
Eftersom inverteringen av en matris av
ordningen N innebär 2 N3 multiplikationer om
man gör den genom direkt Gauss-eliminering
kan vi vänta att hastigt nå mycket stora
räkneproblem. För en endimensionell ekvation kan
vi anta N vara 20, för en tvådimensionell
sådan 400 och för en tredimensionell är N ca
8 000. Vi finner följande behov av
multiplikationer och minnesutrymme.
N Multiplika- Minnes-
tioner utrymme
ord
20 ........ 105 4 • 102
400 ........ 8 • 108 1,6 • 10®
8 000 ........ 6 • 1012 6,4 • 107
Vi ser alltså, att de elliptiska ekvationerna
och integralekvationerna kräver hastigheter
och utrymmeskapaciteter som icke skiljer sig
avsevärt från vad som behövs för paraboliska
och hyperboliska ekvationer.
Möjligheter
Vår nuvarande kunskap indikerar att vi
behöver maskiner som kan hantera problem
innebärande 1010 till 1012 multiplikationer och
som har minnen rymmande 105 till 107 ord.
Detta medför behov av
multiplikationshastig-heter på omkring 1 us. Eftersom här inga
antaganden gjorts om framtida utveckling av
den matematiska tekniken, torde denna
hastighet vara tillräcklig för en ganska avsevärd
tid framåt.
TEKNISK TIDSKRIFT 1957 jf!5
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
