Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - 1962, H. 15 - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Fig. 2
i punkten y = 0; x = 0 för att cirkeln skall bli en
krökningscirkel. Villkoret härför är uppenbarligen
att e = r. För den fjärde skärningspunkten erhålles
då ur (3)
_ 2 B2r
Ui ~ (1 - C)2 + ß2
varav med hjälp av (2)
_ 2(1 - C) Br
Sålunda blir
(1 - Cf +
Vi B
(4)
Nu är som bekant (jfr teorin för den allmänna
andragradsekvationens geometriska tolkning)
B
tg 2 a =
1
C
n.b. om koefficienterna för x2, xy och y~ väljes
enligt (1). Av (4) framgår då att
tg 2 « = tg y
vilket är möjligt endast om a = ß.
(6)
Metod 2
För att undgå xy-termen i (1) kan man i stället
lägga ellipsen "parallellt" med koordinataxlarna
enligt fig. 2. Ellipsens ekvation blir härvid
2 xt0 V2 - 2 yy0
9. 19.
om medelpunktskoordinaterna är x0 och y0 och om
halvaxlarna är a och b. Med kännedom om
tg
Vo
(8)
uppställes härefter krökningscirkelns ekvation,
varefter skärningen mellan ellipsen och cirkeln sökes.
Härvid bestämmer man cirkelradien så, att en
trip-pelrot x = 0; y = 0 utfaller (något som kan kräva
åtskilligt räknearbete), varvid för den fjärde
skärningspunkten S erhålles
_ 4 x0y02 _ 4 x02yo
Xi — 1,2 ’ Vi ,o
Sålunda blir
tg/»-!1-^
<0
a- y0
enligt (8).
Räkningen ger som biprodukt att tangenten i S
får axelintercepten 4 x0 och 4 y0.
Metod 3
Betrakta fig. 3, som visar det givna kägelsnittet K,
samt en cirkel C, som skär K i punkterna P Q R S.
Hänförd till symmetriaxlarna kan ekvationen för K
skrivas
K (r,y) = Ax2 + Cy2 + D.r + Ey + F = 0 (9)
och ekvationen för C
C (x,y) = x2 + y2 + D’x + E’y + F1’ = 0 (10)
Om man adderar dessa ekvationer enligt mönstret
K(x,y)+ m- C(x,y) = 0 (11)
där m är en reell, positiv eller negativ konstant,
erhålles ett nytt kägelsnitt, som även detta går genom
punkterna P Q R S. Det intressanta är härvid att
alla typer av kägelsnitt står att erhålla på detta sätt,
för så vitt lämpliga värden ges åt multiplikatorn m.
Bl.a. kan man få den urartade tvp som består av
två varandra korsande räta linjer, i fig. 3 linjerna
PR och QS. Eftersom (11) saknar xy-term, inses att
bissektriserna till vinklarna mellan dessa räta linjer
blir parallella med huvudaxlarna, varav följer att
de i fig. 3 markerade vinklarna mot ellipsens
storaxel blir inbördes lika. Om vi nu låter P, Q och R
sammanfalla till en enda punkt, blir C
krökningscirkel i denna punkt, varigenom satsen är bevisad.
Metod 1 har tillämpats av H Hägglund, metod 2
och 3 av sign. Ög. Andra lösningssätt har använts
av sign. H L, POO och Sbck, vilken sistnämnde är
den som föreslagit detta problem till behandling.
Problem 4/62. Sök enveloppen till
krökningskor-dan hos en parabel! A Lg
(5) Fig. 3
: 0
(7)
419 TEKNISK TIDSKRIFT 1962 H. 1 <5
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
