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44 CH. H. MÜNTZ:
K. Zwecks Aufstellung spezieller Formeln soll nunmehr
der Geltungsbereich von I genauer untersucht werden.
Zunächst kann man sich von der Voraussetzung der
Differen-zierbarkeit von F(x} überhaupt befreien. Durch Annahme
einer hohen ganzzahligen Grenze Anstatt oo in (i) ergibt sich
leicht die CI0A^;/sche Beziehung [Société mathém., t. 22 (1894),
p. 227, mit sehr kompliziertem und ergänzungsbedürftigem [-Beweise]-] {+Be-
weise]+} :
" N1-8
*-^ -
l .>
ferner hat man identisch:
fN P30
F(nx) - x\ F(xy)dy\dx=lK(s)\x*-lF(y,)dx\ (8 a)
Jo J Jo
der Übergang zu N =. oo lässt sich hierin unter dem
Integralzeichen selbst vollziehen, solange dabei die in der Klammer
entstehende £u/ersche Differenz für x~>o von höherer als der
(i - ö)-ten Ordnung verschwindet, und man erhält dann I.
Ferner kann F (x) unter Umständen für x - >- + °° auch
zumindest von der ersten Ordnung unendlich klein werden,
wie das Beispiel von –- zeigt, das über (50) direkt zu (i),
71X
also zu einer richtigen Beziehung führt.
F (x) kann für x - ^o auch von einer endlichen positiven
Ordnung ö0 < i unendlich^r<?^ werden, worauf I immer noch
für d0<6"<i gilt.
Vor allem aber darf F(x) Sprungstellen aufweisen, ohne
dass der Beweis von A abgeändert zu werden braucht;
insbesondere kann etwa F(x) = o für #> i angenommen werden,
wofür nun einige Spezialfälle gegeben werden mögen.
F. Es sei demgemäss
F(x) = o für ^> i; . (9)
ferner:
a) F(x) = xm für o < x ^ i ; 3t (m) = ö0 > - i ,
ö + a0 > o, o < ö < i ;
so hat man:
. føa)
m + i
wovon also (i) nur ein besonderer Fall ist (m = o).
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