LOGIKER Om de sålunda införda begreppen utsägas följ, axiom el. postulat, som utgöra omdömes-kalkylens grundsatser: I. (Pvq)op II. P^ (pvq) III. (pvq)o(qvp) IV. (p^qp[r^p)o(roq)], varav alla omdömeskalkylens teorem kunna härledas, t.ex. (p^p)op genom att i I insätta p i st.f. p och q och därpå använda definitionen. poq= pvq. Vid sådana härledningar användas följ, två operationsregler: A) I varje formel, i vilken en symbol för ett omdöme förekommer, t.ex. p, kan den utbytas mot vilken omdömes-symbol som helst, t.ex. p, q, pvq, poq etc., såvida utbytet företages överallt, där p förekommer i formeln; och B) Om formeln M är sann, och om formeln MoN är sann, så är också formeln N sann och kan utsägas isolerad. I funktionslogik införas s.k. omdömes-funktioner, d.v.s. uttryck, som innehålla en el. flera variabler, och som bli till sanna el. falska omdömen, när dessa variabler få sig tillagda bestämda värden. Omdömesfunktioner äro m.a.o. funktioner, vilkas värden äro omdömen. De symboliseras med (px, ip(x, y) etc., där x och y äro variabla: (px kan t.ex. betyda "x har egenskapen (p" (spec. ”Sokrates är dödlig”) och rp (x, y) ”x och y stå i relationen ip till varandra” (spec. ”Per är bror till Hans”). Om en omdömesfunktion blir ett sant omdöme för varje möjligt värde av en el. flera variabler, symboliseras detta genom (x).(px, och om den blir ett sant omdöme för minst ett värde av variablerna, symboliseras det med (3 æ). (p x, som kan läsas: ”det finns minst ett värde av x, för vilket (px blir ett sant omdöme”. Sådana uttryck som (x).(px och (jjx).(px kallas ”generaliserande omdömen”, det förra slaget ”allmänna omdömen”, det senare ”existentialom-dömen”. Om dessa hävdas utom de ovan nämnda postulaten I—IV följ, två: V. [(xj.^y VI. <Pyo[(3x).<px], och av dessa 6 postulat kan man genom passande utvidgningar av de två substitutionsreglerna A och B härleda obegränsat många formler, som tillsammans utgöra den s.k. funktion s-kalkylen. En spec. användning av denna är klasskalkylen, som fås, när man definierar en klass som inbegreppet av de föremål, som sa-tisfiera en el. annan omdömesfunktion med en variabel. Omdömesfunktionen ”x är röd” definierar sålunda klassen av röda ting, ty uttrycket ”x är röd” blir ett sant omdöme, när man i st.f. x sätter ett el. annat rött ting. Och på motsvarande sätt kan man definiera en s.k. ”extensiv relation” som begreppet av de ordnade föremålspar, föremålstriader etc., som sa tisfiera omdömesfunktioner med två, tre el. flera variabla. Mot funktionskalkylens formler svara sålunda dels satser om klasser, dels satser om två- el. flerledade relationer, och bland dessa satser utgöra den aristoteliska l:s sche-mata elt begränsat och spec. urval, så att de nämnda kalkylerna beteckna en stor generali-sation av den gängse I:s område. En annan väsentlig utvidgning har man i nyaste tid företagit genom att räkna med möjligheten av flera än de två vanliga ”sanningsvärdena” för omdömena. I st.f. att antaga, att ett omdöme ant. måste vara ”sant” el. ”falskt”, har man infört ett tredje värde, t.ex. ”tvivelaktigt”, el. oändligt många flera värden, t.ex. olika sannolikhetsgrader. Och då det visat sig möjligt att definiera relationerna mellan dessa värden på liknande sätt som relationerna mellan sanning och falskhet, har man tagit itu med den närmare undersökningen av sådana mehr-ivertige 1., som förhålla sig till den gängse som de icke-euklideiska geometrierna förhålla sig till den euklideiska geometrien. Genom den vid införandet av konstlade symboler skapade möjligheten för en rent kalkyla-torisk el. algebraisk behandling av 1. har det emellertid icke endast lyckats att utvidga denna vetenskaps område i förut oanad grad, men tillika skapats en ny intim förbindelse mellan 1. och matematiken, i det att stora delar av denna visat sig kunna härledas från den formella 1. i dess moderna form. Ännu är matematikens reduktion till formell 1. dock icke fullst. genomförd, och f.n. föres mellan forskarna en djuptgående diskussion därom, vilkens resultat ännu icke med säkerhet låta sig förutse, men vars metoder i vart fall till stor del äro baserade på de till logistikens utveckling knutna upptäckterna. Huvudverket är här alltjämt B. Russells & A. N. Whiteheads ”Prin-cipia mathematica” (3 bd, 1910—13), men omfattande översikter äro tillika givna i C. I. Le-wis, ”A survey of symbolic logic” (1918), i J. Jörgensen, ”A treatise of formal logic” (3 bd, 1931) och i C. J. Lewis & C. H. Langford, ”Symbolic logic” (1932). J.J. Logiker [lå'-] betecknar dels en person, som ägnar sig åt studier, som höra under logiken (se d.o.), dels en person, som tänker i överensstämmelse med de logiska satserna och de på dessa baserade föreskrifterna för tänkandet. J.J. Logikkalky'1, en disciplin, där de logiska problemen behandlas med hjälp av algebraiska el. algoritmiska metoder (se Logik och Algoritm). J-J Logis [låzi'] (fra.), se Logi. — 551 — — 552 —