Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
85
Prop. XIII. Probl.
(Fig. 143.) Att omskrifvet, en cirkel omkring en gifven
qvadrat ABCTJ.
Drag de båda diagonalertia AC, BD, så är deras
skärningspunkt JE den omskrifne cirkelns medelpunkt.
Detta följer af I: 34. Cor. 4.
Aum. I prop. G—9 visas, huru en qvadrat inskrifves i ocli
om-skrifves omkring en cirkel, samt huru en cirkel inskrifves i ocli
omskrif-ves omkring en qvadrat. I sammanhang härmed är det skäl att
undersöka, om och under hvilka vilkor en cirkel kan inskrifvas uti eller
omskrifvas omkring en fyrsidig figur hvilken som helst.
Skär man tvä närliggande vinklar midtitu, så finner man såsom i
prop. 4 medelpunkten till en cirkel, som tangerar tre af den fyrsidiga
figurens sidor. Han tangerar ock den fjerde, om de räta lineer, som från
nyssnämnda medelpunkt dragas till de två öfriga vinkelspetsarne, dela •
dessa vinklar midtitu. Då är också summan af två motstående sidor =
summan af de båda öfriga (Hl: 17. Anm.). Man kan derföre säga detta
vara vilkoret för att en cirkel skall kunna inskrifvas uti en fyrsidig figur.
Redan af III: 22 vet man, att då en fyrsidig figurs vinkelspetsar
ligga på en cirkels periferi, så är de motstående vinklarnes summa = 2B.
Man ledes häraf till den förmodan, att en cirkel kan omskrifvas kring en
fyrsidig figur, i hvilken två motstående vinklars summa är = 2B. Detta
bevisas sålunda.
(Fig. 144.) Drag i figuren A B CD, som har + dia- -
gonalen BD, sä kan en cirkel omskrifvas kring /SABD (prop. 5).
Om O är denne cirkels medelpunkt, så måste periferien skära OC
antingen i C eller i någon annan punkt F. Skär han i F, så måste
/\A + f\BFD vara = 2J2 (Hl: 22); men emedan /\A +/\BCD antogs
2B, sa skulle /\BFD vara = /\BCD, hvilket är omöjligt (I: 21).
Alltså måste periferien gå genom C. Om således summan af två
motstående vinklar i en fyrsidig figur är = 211, så kan en cirkel omskrifvas
kring figuren.
Af det nu sagda följer: 1) att cirklar kunna inskrifvas i liksidiga
pgrmer (qvadrater och rliomber); 2) att cirklar kunna omskrifvas kring
rätvinkliga, men ej kring snedvinkliga pgrmer; 3) att cirklar stundom
kunna inskrifvas uti och omskrifvas -omkring trapezier, nemligen om de
uppfylla ofvan anförda vilkor.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
