Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
ÖO LITTERATURANMELDELSER.
Klein var ikke den første, som gav et Bevis for de
ikke-euklidiske Geometriers Modsigelsesfrihed. Beltrami havde
fundet en fuldstændig Analogi til Lobatschewsky’s Geometri
ved at erstatte de rette Linier i Lobatschewsky’s Plan med
de geodætiske Linier paa Flader med konstant negativ
Krumning. Ved passende Valg af Koordinater paa disse Flader
kan man opnaa, at de geodætiske Linier fremstilles ved lineære
Ligninger, og den analytiske Geometri i Lobatschewsky’s Plan
vil da ved Fortolkning i disse Koordinater give et
fuldstændigt Billede af de ikkeeuklidiske Forhold paa en krum Flade
i det euklidiske Rum. Analogien har dog sine Grænser ved,
at en saadan Flade frembyder uundgaaelige Singulariteter og
derfor ikke kan give et Billede af den ikkeeuklidiske Plan i
sin Helhed. Riemanns Art af ikkeeuklidisk Geometri
genkendes paa samme Maade i den sfæriske Geometri. Denne
Fortolkning vinder i Interesse ved, at man paa samme Maade
traf paa Billeder af den euklidiske Plan indenfor de
ikkeeuklidiske Geometrier: Lobatschewsky’s »Grænsekugle« i
Rummet med negativ Krumning og Clifford’s Flade i Rummet
med positiv Krumning. Overfor det tilsyneladende tilfældige,
som laa i disse Analogier, var den principielle Betydning,
Kleins Resultater havde, denne, at de forskellige metriske
Geometrier nu kunde opfattes som ligestillede Provinser i
Projektivgeometriens Omraade. Cayley’s Ord om, at
»descrip-tiv geometry is all geometry«, fik først derved sin rette
Betydning. Denne Erkendelse borttog den sidste Rest af det
mystiske Skær, som indtil da stadig laa over de ikkeeuklidiske
Teorier; i matematisk Henseende kunde der ikke mere
indvendes noget imod dem, de blev tværtimod til værdifulde
Hjælpemidler i næsten alle matematiske Discipliner: her skal blot
mindes om den Nytte, Klein og Poincaré drog af den
ikkeeuklidiske Fremstillingsmaade i Funktionsteorien.
Men hvilken Geometri havde nu Gyldighed i
»Virkeligheden«? Man kan karakterisere Metriken i et ikkeeuklidisk
Rum ved den Talværdi, en bestemt DifTerentialinvariant,
Rummets »Krumning«, antager. I det euklidiske Rum er dens
Talværdi Nul, og dens Talværdi vil derfor i Almindelighed
angive, hvor stærkt Rummets Metrik er forskellig fra den
euklidiske. Til et givet Omraade, der begrænser vor
Erfaringsverden, vil der altid svare en Variabilitet for Talværdien for
Rummets Krumning af det Omfang, at de Forskelle, den frem-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
