Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6 - Om geometriens principer [Torsten Brodén]
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Om geometriens principer.
219
kunna sägas utgöra ett “aprioriskt” element i all vår kunskap, en
sista och yttersta “bakgrund” för vår uppfattning. Som bekant
har den tyska matematiken under de sista decennierna sträfvat att
gifva aritmetiken (analysen) en strängare logisk hållning
(Weierstrass, Cantor, Dedekind m. fl.). Denna matematisk-filosofiska rörelse
kan väl icke sägas ännu hafva nått någon fullt definitiv afslutning.
Men att dess syfte är prisvärdt, och det mål, mot hvilket den
ytterst tenderar, upphinneligt, kan efter vårt förmenande knappast
bestridas. De begrepp, som skulle kunna stå i vägen för en strängt
och rent logisk aritmetik, vore väl åtminstone hufvudsakligen blott
tvänne: begreppet om ett före och efter i tiden samt
oändlighets-begreppet. Men det förra kan och bör fullständigt bannlysas från
en sträng aritmetik. Den åsikten, att aritmetiken skulle vara “the
science of pure time”, betecknar Cantor med skäl såsom alldeles
“grundfalsch”. Man kan väl ändå icke undgå antagandet af
samtidigt existerande föremål, som låta sig aritmetiskt bestämmas.
Och hela begreppet före och efter låter i själfva värket ersätta sig
genom det allmännare begreppet om en tankeförbindelse mellan
föremål. Med oändlighetsbegreppet förhåller det sig något
annorlunda. Det kan icke undgås; men det behöfver eller bör icke
upptagas oförmedladt (eller otillräckligt förmedlad!). Det låter i
själfva värket reducera sig till begreppet om en oändlig mängd.
Och detta begrepp kan man (med Dedekind) definiera så här:
en mängd är oändlig, om mellan densamma och en del däraf
låter upprätta sig en ömsesidigt entydig motsvarighet. [En mängd
B är “del” af en annan mängd A, om hvarje föremål i B också
tillhör A, men icke omvändt. Motsvarighet = tankeförbindelse].
Sålunda defmieradt framstår oändlighetsbegreppet icke såsom ett
dunkelt “gränsbegrepp”, utan såsom en af vår tankeförmågas
enklaste och mest ursprungliga tillhörigheter; och det behöfver då
tvifvelsutan icke längre gifva upphof till några matematiska
“paradoxer”. Men kan sålunda. aritmetiken uppfattas såsom ett af
tids-och rumsåskådningen oberoende logiskt system, så gäller detsamma
om geometrien; ty den är ingenting annat än aritmetik, eller
kan åtminstone fullständigt klädås i aritmetisk dräkt. Den vanliga
(euklidiska) geometrien blir på detta sätt a priori en möjlig logisk
form bland många andra dylika. Först genom den faktiska
värkligheten erhåller den sin särskilda betydelse.
En någorlunda fullständig motivering af det sålunda angifna
åskådningssättet kan enligt sakens natur först vinnas genom en i
detalj gående undersökning af geometriens grunder. Den följande
framställningen innehåller blott ett utkast till en sådan (huru
lockande en större utförlighet än kunde vara). Vi afsäga oss därför
på förhand hvarje anspråk på att hafva framlagt en fullständig
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
