Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6 - Om geometriens principer [Torsten Brodén]
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
226 Om geometriens principer.
ten själf. Men vi konstatera nu, att det på räta linien också
gifves ett punktsystem, som har alla de nämda egenskaperna
med det enda undantaget, att A icke har någon
nästföregående punkt. Detta galler icke om det nämda hörnpunktsystemet
(där “kommer man tillbaka till utgångspunkten“ A, vid successiv
öfvergång till nästföljande punkter). Och i själfva värket är
härigenom faststäldt, att vi ha att göra med ett oändligt punktsystem.
Ty redan det nämda i räta linien ingående systemet är enligt den
ofvan gifna definitionen en oändlig mängd, emedan det sagda
tydligen innebär en entydig motsvarighet mellan hela detta system
och den del däraf, som återstår, om A frånräknas. Det leder
också till systemets representation medelst den positiva heltalsserien.
Ersättes P med dess i afseende pä A symmetriska punkt,
framkommer den negativa serien. Och det är att märka, att vid denna
representation medelst hela reela tal, lika taldifferenser motsvaras
af lika afstånd. Men vi ingå nu icke närmare på uppvisandet
af, huru de hela talen och deras räknelagar framgå ur de gjorda
bestämningarna. Vi framhålla blott, att inordnandet under
hel-talsläran icke kräfver några andra specifikt geometriska
grundbegrepp än de redan införda (punkt och afståndslikhet). Härifrån
behöfva icke ens undantagas sådana begrepp som att en punkt
ligger “mellan“ två andra, eller att ett afstånd är “större" eller
“mindre" än ett annat. Punkten A ligger “mellan" två andra
punkter i systemet, om de tillhöra olika halfsystem (det pos. och
neg.); annars icke. Och då det vidare lätt inses, att hvarje punkt
i systemet kan göras till nollpunkt, utan att detsamma förändras,
fås lätt en allmän definition på begreppet ”mellan". Och härtill
ansluta sig i själfva värket begreppen “större" och “mindre"
mycket nära..
Den frågan framställer sig nu, huruvida det afhandlade
systemet utfyller hela linien, eller icke. Man inser lätt, att (på grund
af den senast gjorda bestämningen) det senare är händelsen (det
förra kan däremot inträffa vid hörnpunktsystemet). Betraktom
nämligen två konsekutiva punkter P (föregående) och Q
(efterföljande). Man visar utan svårighet, att deras midtpunkt N tillhör
ett positivt heltalssystem, hvars O-punkt är A och 1-punkt
midt-punkten mellan A och B, under det vidare P och Q äro
nästföregående resp, nästföljande punkt i förhållande till N. Häraf är
åter tydligt, att N omöjligen kan sammanfalla med A (ty då
skulle P vara nästföregående till A. hvilket strider mot det positiva
systemets egenskaper. Och man generaliserar med största lätthet
detta därhän, att midtpunkten mellan två godtyckliga konsekutiva
punkter i det ursprungliga heltalssystemet icke han sammanfalla
med någon af detta systems egna punkter. Genom att öfverallt
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
