Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6 - Om geometriens principer [Torsten Brodén]
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Om geometriens principer. 233
blott den, att man i stället för att hålla sig till liniens egna
punkter, nu betraktar de genom dem gående, mot linien
vinkel-räta linierna. Förskjutningen förutsätter alls icke parallelsatsen.
Men om denna gäller, gestaltar den sig enklare än i motsatt fall.
Ty då kommer icke blott den linie Z, längs hvilken
förskjutningen ursprungligen tänktes ske, att blifva själfmotsvarig, utan
också hvarje med densamma parallel. Detta hafva vi i själfva
värket redan bevisat (se strax ofvan). Vidare kommer hvarje
rät linie JU, som är vinkelrät mot L, och således äfven mot de
parallele, att motsvaras af en annan, som är parallel med M.
Häraf följer åter, eftersom det ”vinkelräta afståndet” (uttrycket
torde ej kunna missförstås) mellan två parallela linier tydligen
är konstant, att på hvar och en af de med L parallela linierna,
att försiggå en förskjutning, lika med den på L. Genom att
sammansätta två mot hvarandra vinkelräta förskjutningar, finner
man vidare, att två räta linier äro inbördes vinkelräta, om de
äro vinkelräta mot hvar sin af två inbördes vinkelräta, och att
hvarje substitution x = h, y = y1 -j- k representerar en
”koordinattransformation”.
Vi öfvergå nu att söka det aritmetiska sambandet mellan
x- och y-värdena för punkter, som ligga i rät linie.
Härvid anmärkes först att (oberoende af parallelaxiomet)
två punkter (xp y2) och (— x1? — yp) ligga i rät linie med O
(origo). Detta inses sålunda. Två punkter (xp yj och (xp — y1),
korteligen P och P1, ligga uppenbarligen symmetriskt till »-axeln.
Detta gäller därför äfven om de räta linier, som bestämmas å
epa sidan af O och P, å andra sidan af O och P1. De punkter
E och E1, som på dessa linier ligga symmetriskt till P resp. P1
med afseende på O (så att O É — O P = O P1 = O E1),
äro därför också symmetriska till »-axeln. Men P och jR1,
resp. P1 och E motsvara hvarandra också med afseende på en
viss linie genom O (annan än »-axeln) som symmetri-axeln.
I förhållande till samma linie bilda äfven midtpunkterna till
P och P1 resp. R1 och R ett symmetriskt par. Men dessa
midtpunkter tillhöra »-axeln. Denna är alltså vinkelrät mot den
nämda symmetriaxeln, som följaktligen sammanfaller med y-axeln.
Punkterna E och E1 äro således (— xp.—yj och (— xp y^.
M. a. o. (xp yx) och (— xp — y^ ligga i rät linie med O.
Vi kunna nu uppställa ”räta liniens ekvation”. Betraktom
linien E O P och tänkom oss t. ex., att P ligger i ”första
kvadranten” (x 0, y > 0). Origo må flyttas till E.
”Koordinaterna” för O blifva då x, y^, för P däremot 2 2 y^
Pedagogisk Tidskrift,
lø
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
