Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 7 - Om geometriens principer [Torsten Brodén] (forts.)
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Om geometriens principer.
(Forts.)
Vi anse oss nu hafva fullständigt grundlagt geometrien,
åtminstone hvad angår afståndsrelationer: vi kunna (medelst
koordinater) bestämma de olika punkternas läge i förhållande till vissa
gifna punktsystem, och vi kunna bestämma det inbördes läget af
(”afståndet mellan”) två punkter, hvilkas koordinater äro gifna.
Det återstår oss nu blott att reducera alla begrepp till
afståndsrelationer.
Vi behandla här utförligare blott begreppet vinkel. Först
definieras begreppet likhet mellan vinklar: två riktningar OA
och 0 B bilda samma vinkel som två andra O1 A1 och O1 J?1,
om det gifves någon ekvivalens, vid hvilken riktningen (”halflinien”)
O1 A1 motsvarar O A, och O1 B1 motsvarar O B. Häri innefattas
specielt det Euklidiska “axiomet”, att alla räta vinklar äro lika
stora, liksom äfven den allmänna satsen, att de vinklar, som äro
lika med en och samma, äro sinsemellan lika. Vidare: vinkeln
A O B är spetsig, om O B går i första eller fjärde kvadranten,
när i planet A O B O A tages till pos. x-axel för ett rätvinkligt
koordinatsystem, trubbig om O B går i andra eller tredje
kvadranten. En trubbig eller rät vinkel säges vara större än en spetsig,
samt en trubbig större än en rät, hvarjämte af två vinklar A O B
och A1 O1 B1, som äro bägge spetsiga eller bägge trubbiga, A O B
är större än A1 O1 B1 om vinkelkoëfficienten för O B (O A pos.
x-axel), är i förra fallet numeriskt större, i senare fallet numeriskt
mindre än vinkelkoëfficienten för O1 B’ då O1 A1 är pos. x-axel.
Tänkom oss vidare, att i ett rätvinkligt koordinatsystem “vinkeln
mellan koordinataxlarnas positiva riktningar (O X, O Y) delas midt
i tu“, d. v. s. att man drager den i första kvadranten gående
delen (OL) af den genom OX och O Y såsom motsvariga
riktningar bestämda symmetriaxeln, att sedan vinklarna X OL och
Y O L på samma sätt delas midt i tu o. s. v. o. s. v. De
riktningar, till hvilka man sålunda kommer, kunna på lätt insedt sätt
representeras genom egentliga bråk af formen (a helt 0),
under det O X och O Y betecknas med resp. 0 och 1, och detta
på sådant sätt, att likhet i taldifferens ger likhet i vinkel. Nämda
bråk kunna sägas angifva storleken af vinklarna mellan de resp,
riktningarna och riktningen O X, med den räta vinkeln X O Y
såsom enhet. Det kan vidare bevisas, att mellan samtlige i första
kvadranten gående riktningar och samtlige tänkbara oändliga serier
c c c c
2 d–––-L _i––1 _l .... 4.
g l £2 l l 2» ’
Pedagogisk Tidskrift.
IS
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
