Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 7 - Om geometriens principer [Torsten Brodén] (forts.)
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Om geometriens principer. 257
Vi kasta nu en återblick på den foregående framställningen.
De specifikt geometriska grundbegreppen hafva reducerats till
tvänne: punkt och likhet i afstånd från en och samma punkt.
Vidare hafva vi uppstält ett någorlunda enkelt och homogent
system af fundamentalsatser, hvilka visats vara tillräckliga för
konstituerandet af en bestämd geometri. Däremot har satsernas
oberoende af hvarandra icke blifvit fullständigt undersökt. Det
återstår att tillse, i hvad mån den så högst viktiga empiriska
evidensen blifvit tillgodosedd. Det har i de särskilda fallen icke
blifvit närmare angifvet, huru den empiriska verifikationen skall
verkställas. Detta just därför, att nämda verifikation kan vinnas
genom så ytterst enkla mekaniska tillställningar, att satserna för
alla framstå såsom omedelbart evidenta. Vi tro åtminstone icke,
att våra satser i evidens stå det ringaste efter de Euklidiske
(uttalade eller underförstådde) “ axiomen “. Men det må likväl
härvid erinras, att såväl Euklides som vi i själfva värket gå utöfver
erfarenheten och därför i viss mån bygga på osäker grund.
Särskildt må i detta hänseende framhållas det osäkra i ”parallelteorien”.
Den approximativa giltigheten af vår parallelsats är evident; men
det är ingalunda omöjligt, att den icke är strängt riktig. Låta vi
densamma falla, under det alla öfriga antaganden förblifva
orubbade, erhålles ett s. k. “pseudosferiskt“ rum, hvarest genom en
punkt i ett plan (eller i en punktmängd, som för öfrigt motsvarar
ett plan) icke går någon linie, som är jämnlöpande med en gifven
(det vinkelräta afståndet konstant), men däremot oändligt många,
som icke råka densamma, emedan de från någon viss punkt åt
bägge sidor divergera från henne. Det måste anses som en
möjlighet, att vi värkligen lefva i ett sådant rum, ehuru den nämda
divergensen är för svag (eller vinkeln, inom hvilken de oändligt
månge divergerande linierna ligga, för liten) för att af oss kunna
upptäckas — åtminstone med hittills använda medel. Men det
gifves äfven andra möjligheter, som äro lika förtjänta att omnämnas.
Tänkom oss, att räta liniens geometri omgestaltas därhän, att
egenskapen “ oändlig “ bortfaller, medan egenskapen “ obegränsad “
liksom också “kontinuiteten’ bibehålies, så att den blir hvad man
kallar en “sluten linie“. Upphäfves dessutom parallelsatsen (men
blott denna), erhålles ett ”halfsferiskt” rum, hvarest två räta linier,
som ligga i samma plan, alltid råkas i en, men blott en punkt.
Borttager man däremot äfven den euklidiska satsen, att två
räta linier icke utan att sammanfalla kunna hafva mer än en
skärningspunkt, erhålles det “sferiska“ rummet, hvarest två linier
i samma plan utan undantag råkas i två punkter. För att afgöra,
om vi tilläfventyrs lefva i något af de tre nämde ”icke-euklidiske”
rummen, hafva vi icke något annat medel än observationer (mät-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
