Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 3 - Phragmén, E., Om begreppet likytighet i Euklides’ Elementa
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Om begreppet likytighet i Euklides’ Elementa.
81
Ty man har ju
rektangeln af O och O B3’(=) rekt, af O A, och O B, ,
rektangeln af O A., och O B3" ( = ) rekt, af O A3 och OB^,
rektangeln af O Ax och O B., (-) rekt, af OA, och O Br
Deraf härleder man lätt
rektangeln af O A3 och O Bj^) rekt, af O A3 och O B 3’
d. v. s. O B3 = O B3"
h. s. b.
Härmed ha vi vunnit grundvalen för den ur konstruktiv
synpunkt så viktiga läran om likstälda figurer, och ha således,
utan att behöfva införa begreppet förhållande, kommit fram till
en sådan framställning af den konstruktiva plangeometrien, att
vi äro i stånd att lösa hvarje konstruktionsuppgift med användande
af precis samma konstruktion som den man kommer till genom
användning af proportionsläran.
Euklides’ Elementa innehålla således i sjelfva verket material
till två fullständiga och af hvar andra oberoende plangeometriska
systemer, det ena, det som innehålles i de fyra första böckerna,
grundadt på begreppet likytighet, det andra, det som återfinnes
i 5: te och 6:te böckerna, oberoende af detta begrepp sä som
det i det första systemet definierats, och i stället grundadt på
begreppet förhållande. Denna dualism var tydligen icke fullt
medveten för Euklides sjelf, eftersom han ju begagnar satserna
om likytiga trianglar vid bevisen för de första satserna i sjette
boken. Och det synes nästan som om den ännu i denna dag
aldrig blifvit fullt medveten för någon af Euklides’ otaliga
bearbe-tare. Man kan visserligen skönja en tendens, som mer och mer
gör sig gällande, att lägga hufvudvikten vid begreppet förhållande;
och derom är ju icke annat än godt att säga. Men jag har ännu
icke sett en enda elementär lärobok som vågat taga steget helt
ut och baserat äfven definitionen af ytinnehåll på detta begrepp.
Man återfinner så godt som alltid de Euklidiska satserna i—6
härofvan i egenskap af axiomer, något som naturligtvis från denna
ståndpunkt icke kan betraktas såsom berättigadt, icke ens ifall
den verkliga innebörden af dessa satser närmare utredes i ungefärlig
öfverensstämmelse med antydningarna å sid. 73—75. Deremot
synes mig knappast någon invändning kunna göras mot ett sådant
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
