Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Häfte 4 - E. Solander. Exponentialfunktioners och logaritmiska funktioners derivator
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
exponential- och logaritmfunktioners derivator 103
Binomialteoremet kan därpå skrivas under formen:
[a -f x)n = an + nan~lx +
+ T—^yTÎ ’ + T"^Wrr * ^^ + • " +
\n—2)! 2! \n — 3)1 ô\
+ 7–^Wt" ’ an~kxk 4- • • • + xn.
(11 — h)\k\
Men på samma gång erhåller man en ekvation av allmännare
form (Taylors serie):
/(a + x) =/(«) + /’(a) .x+f" (a) ■ f + /’"
2 . j •
där likheten utan vidare måste gälla, om, såsom i fråga om
binomialteoremet, högra ledet innehåller ett begränsat
antal termer. Som gränsfall gäller likheten även, om högra
ledet övergår till en oändlig potensserie, under förutsättning
att densamma konvergerar. Det ligger nu nära till hands
att undersöka en sådan funktion cp{x) av x, att den är lika
med sin derivata — således också första derivatan lika med
den andra o. s. v. Man finner då:
cp(x) = cp{o) + cp\o). X -f cpXo). ^ + . .
eller, eftersom enligt antagandet cp(p) = <jPf(o) = cp!I(o) = •. .
cp(x) = cp(o) + * + ~ + Jj + . . . J .
Funktionen cp(x) är således bestämd genom en potensserie,
så när som på en godtycklig konstant faktor cp{o). Sättes
denna speciellt lika med i, fås till sist:
cp(x)= i + * + — + — +
2! 3!
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
