ARITMETISK SERIE AristoTeleshjort, tillhörande släktet Rusa (se d. o.). AristoTeleslykta, den av olika kalkstycken bildade tuggapparaten hos sjöborrarna (se d. o.). Aristote'lia (Friesea), växtsläkte av fam. Elæocarpa'ceæ, buskar el. små träd med motsatta, sågade blad. Av släktet finnas 7 arter, med utbredning övervägande i Australien. Viktigast är A. maqui, från Chile, vars purpurröda, välsmakande bär ätas. Även dess ved finner på mångahanda sätt användning. O. Gz. Aristo'xenos, grekisk musikskriftställare (f. o. 354 f. Kr.), lärjunge av Aristoteles. A. övergav pytagoréernas uteslutande på talförhållanden grundade musikteori och sköt med sina lärjungar (»harmoniker») tonförnimmelsernas betydelse i förgrunden. Han förstod redan, att åhörandet av ett musikstycke är ett oavbrutet sammanfattande och uppbyggande med tillhjälp av minnet, och får betraktas som grundläggaren av en vetenskaplig musikestetik. Av hans (452?) skrifter ha bevarats brottstycken av »Rytmikens element» och »Harmonikens element» (kritisk uppl. av R. Westphal och Fr. Saran, 2 bd, 1883—93). Jfr R. Norén och J. Morén, »Valda koraler i gammalrytmisk form på grundvalen af A:s’ teori för musikalisk rytm» (1892—94). — Litt: C. F. A. Williams, »The Aristoxenian theory of musical rhythm» (1911); L. Laloy, »A. de Tarente et la musique de 1’antiquité» (1924). F. S-l. Aristy'llos, grekisk astronom från Samos o. 300 f. Kr., har jämte Timocharis utfört den första kända stjärnförteckningen, viktig särsk. därför att Hipparchos på densamma grundat sin upptäckt av precessionen (se d. o.). C. V. L. C. Aritmetik (till grek. arithmei’n, räkna), läran om talen, kan, fast allmänt godtagen begränsning av a. saknas, lämpligen sägas omfatta räknelära och talteori. Den förra lär oss att räkna, d. v. s. att av två tal enl. en viss regel (räknesätt) bilda ett nytt tal. För att man vid utförandet av en beräkning på olika sätt alltid skall få samma slutresultat, måste de olika räknesätten uppfylla vissa allmänna fordringar. En sådan är t. ex. den kommutativa lagen för multiplikation, i tecken a.b = b.a. De olika räknesätten äro: 1) addition, 2) subtraktion, 3) multiplikation, 4) division, 5) potensupphöjning, 6) rotutdragning, 7) logaritmering. Av dessa benämnas 1), 3) och 5) direkta, de övriga indirekta el. omvända. Sålunda är 2) omvändning till 1), 4) till 3), samt 6) och 7) till 5). Användandet av de omvända räknesätten har lett till att vårt talsystem, som urspr. blott innehöll de positiva hela talen, successivt utvidgats. Så har man genom 2) förts till de negativa talen, genom 4) till bråken, genom 6) dels till de irrationella, dels till de imaginära talen. För att även vid räkning inom det sålunda utvidgade talsystemet slutresultatet alltid skall bli detsamma, måste de ovan antydda lagarna för räknesätten gälla även här. Angivas talen vid räkningen med symboler (vanl. bokstäver) i st. f. med siffror, kallas detta bok-stavsräkning och hänföres då ofta till algebran (se d. o.). Talteorien (se d. o.) undersöker talens egenskaper. Till a. räknas ofta även analysen. — Med politisk a. menas matematikens tillämpning inom statistik och försäk-ringsverksamhet (uppgörande av dödlighetstabeller o. d.). Historia. Av de sju räknesätten få 1)—5) anses kända redan av egypterna. Så t. ex. innehåller det äldsta aritmetiska dokumentet, egyptern Ahmes’ räknebok (o. 2000 f. Kr.), räkning med hela tal och bråk samt aritmetiska och geometriska serier. De irrationella talen upptäcktes av pytagoréerna, under det att Arkimedes anses ha varit i besittning av allmänna metoder för rotutdragning. För a:s utveckling var införandet i Europa under 12:e årh. av det från Indien härstammande posi-tionssystemet av stor betydelse. I slutet av det 16:e årh. uppfunnos decimalbråken (Stevin, Bürgi, Viète), i början av det 17:e logaritmerna (Napier, Bürgi, Briggs). A:s liksom algebrans utveckling har i hög grad varit beroende av en lämplig teckenskrifts utbildning. En logisk, motsägelsefri lärobyggnad blev a. först i 19:e årh. (Hankel, se ovan kommutativa lagen m. m.). Litt.: H. Wieleitner, »Die sieben Rech-nungsarten mit allgemeinen Zahlen» (1912). H. D. AritmeTisk serie el. progression, är en följd av tal, där vart och ett med det närmaste föregående bildar samma skillnad. Så heltals-serien 1, 2, 3, . . . n, el. i allmänt schema a, a + d, a + 2d, .... (n — l)d, med differensen d. Redan Pytagoras’ skola visste, att en a. s:s summa angives av antalet termer gånger aritmetiska mediet (se d. o.) av första och sista termerna, således t. ex. 1 T 2 -f- . . . n(n+ 1). 2 I samband med de av gre- + n = kisk och orientalisk matematik studerade po-lygonal- och pyramidaltalen (se d. o.) stå aritmetiska serier av högre ordning. En serie är aritmetisk av 2:a ordningen, om följden av differenser mellan bredvidstående tal är en vanlig a. s.; bilda dessa differenser en serie — 269 — — 270 —