Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Yhtälö ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
1761
Yhtälö
1762
sen korkein eksponentti ilmoittaa y:n asteen.
Useampia tuntemattomia sisältävän y:n asteen
ilmoittaa se termi, jossa on tuntemattomien kor-,
kein eksponenttisumma. Ensimäisen asteen y:n
normaalimuoto on: ax = b, josta juuri
x = - saadaan jakamalla jäsenet a :11a. Toisen
asteen y. yhdellä tuntemattomalla kuuluu
normaalimuodossaan ax2-\-bx-\-c = 0. Tästä johtuu
käyttämällä ,,neliöntäydentämiskeinoa" y:n mo-
lemmat juuret x =
kriminantti
— b± j/b* - J,ac
2a
Jos y :n d i s-
b2—4ac on negatiivinen ovat
juuret kompleksisia konjugaattilukuja (ks. I m
a-ginaarinenja Kompleksiluvut),
muuten reaalisia. — Ensimäisen asteen y:n
normaalimuoto kahdella tuntemattomalla on: ax-\-by-c.
Yhtälöparin ax -f- by = c ja aix -(- b^y
juuri-parin etsiminen perustuu toisen
tuntemattoman poistamiseen 1. eliminoimiseen,
jolloin saadaan yksi y. yksine tuntemattomineen.
Kun tästä tuleva juuri sijoitetaan
jompaankumpaan alkuperäisistä y:istä, saadaan toisen
tuntemattoman arvo. Eliminoimisessa voidaan käyttää
kolmea keinoa: 1. yhteen- ja
vähennyslasku keinoa käytettäessä kerrotaan
nor-maalimuotoiset y:t molemmat sellaisilla luvuilla,
että eliminoitavien tuntemattomien kertoimet
tulevat vastakkaisluvuiksi, jonka jälkeen y:t
lasketaan yhteen; 2. sijoitus- 1.
substitut-s i o n i keinon avulla saadaan toinen tuntematon
eliminoiduksi, kun toisesta y:stä otetaan sen arvo
(pitämällä toista tuntematonta tunnettuna) ja
sijoitetaan toiseen y :öön; 3. v e r t a i 1 u-
l.kom-paratsionikeinoa käytettäessä johdetaan
molemmista yhtälöistä eliminoitavan
tuntemattoman arvot, jotka tehdään yhtäsuuriksi. Kun
ensimäisen asteen y:itä ja tuntemattomia on
useampia kuin kaksi, esim. m, niin verrataan yksi y.
kaikkiin muihin ja eliminoidaan kulloinkin sama
tuntematon. Siten syntyy uusi y.-ryhmä, jossa
on m—1 tuntematonta ja y :öä. Samaa
menettelyä sovitetaan uuteen ryhmään nähden, joten
syntyy m—2 y :öä ja tuntematonta sisältävä ryhmä
ja niin jatketaan, kunnes lopulta on vain yksi
ainoa lopullinen 1. finaaliyhtälö. —
Ensimäisen ja toisen asteen y:iden ratkaisun tunsi
jo Diophantos (3:nnella tai 4:miellä vuosis. j. Kr.),
mutta 3:nnen asteen y:n ratkaisu näytti
tuottavan miltei voittamattomia vaikeuksia. Niinpä
Luca Paeioli teoksessaan ,,Summa de Arithmetica"
(1494) sanoo, että tieteen silloisella kannalla
sellaisten y:iden ratkaisu oli yhtä mahdoton kuin
ympyrän neliöiminen. Hiukan myöhemmin
onnistui kuitenkin tehtävä Seipione del Ferrolle
(1496-1526), joka siitä ilmoitti oppilaalleen Fiorelle.
Hänen käyttämästään menetelmästä ei
kuitenkaan tiedetä sen enempää. T a r t a g 1 i a
(1506-59) keksi uudestaan ratkaisun 1535.
Ennenkuin hän ennätti sen julkaista, houkutteli
Car-dano (1501-76) sen häneltä ja julkaisi teoksessaan
,,Artis magna; sive de regulis Algebra; Liber
unus" (1545). Sentäliden on, vaikka vääryydellä,
sanottu 3:nnen asteen y:n ratkaisun sisältävää
kaavaa Cardanon kaavaksi. Kolmannen
asteen yleismuotoista y:öä: x3-\-ax2-\-bx-{-c = o
(a, b, c reaalilukuja) ratkaistaessa sijoitetaan sii-
a
hen ensiksi x = y—jonka kautta y. saa
muo-56. X. Painettu »% 19.
don y3-\-3py-\-2q = 0. Sitten sovellutetaan tähän
mukaviminin Hudden menetelmää. Valitaan näet
kaksi uutta tuntematonta u ja v sekä
sijoitetaan viimeiseen y:öön y=u-\-v, niin saadaan
u3-\-v3-\-2q-\-(u-\-v)(3uv-\-3p) = 0. Tästä
määrätään u ja v tekemällä u3-\- v3-\-2q = 0 ja 3uv-\-3p
= 0, jolloin alkuperäinenkin y. toteutuu. Sijoitta-
V
maila jälkimäisestä y:stä otettu arvo v=–
u
edelliseen saadaan y. u6-\-2qu3—p3 = 0, joka
voidaan ratkaista kuten toisen asteen y., saadaan:
3/-=r -—*—
« = y— q -I- yqt + pS; v =j/—q — yqi_^p» Ja siis
g _ _ g _
y + + V—q—y 9s_j_ps(Tartaglian
1. n. s. Cardanon kaava). Ne u ja v juuriarvot
lasketaan yhteen, jotka toteuttavat y:n: uv-—p.
Juurien saanti riippuu binomiaali y:n y3 = a (jossa
a on mielivaltainen tunnettu luku) ratkaisemisesta.
3
Sen juuret ovat reaaliluku j/u ja kompleksiluvut
ij/3
2
Jos siis
«o ja v0 merkitsevät 3:nnen asteen y:n reaalijuuria
niin saadaan kaavat: y=Uo-\-Vo; 1/2 =
ys
(u 0—v0j ;y3 =
–-q— (u0—v0). Koi-
tC
mannen asteen y:n diskriminantista q2-\-p3
voidaan, sen mukaan onko se ^ 0, päätellä
minkälaiset juuret ovat. Jos q–\-p3~>0, saadaan yksi
reaali-juuri ja kaksi kompleksijuurta. Toiseksi, jos
q~-\-p ’’ - 0, saadaan kolme reaalijuurta, joista kaksi
on yhtäsuurta (koska u0—fo = 0). Jos lopuksi
q?-\-p3 < 0, niin ovat juuret kaikki kolme reaalisia,
vaikka kohta Tartaglian kaava antaa niiden arvot
imaginaarilukujen avulla lausuttuna (casus
irrc-ducibilis). Viimeinen tapaus on ollut
matematiikan kehitykselle tärkeä, koska se on pakottanut
suorastaan ottamaan käytäntöön kompleksiluvut.
— Neljännen asteen y:n yleistä muotoa:
xi-\-ax3-\-bx’1-\-cx-\-d = 0 ratkaistaessa sijoitetaan
a
siihen ensin x - y y, jonka kautta y3 kertoiti
tulee = 0, niin että y. esiintyy supistetussa
muodossa: yi-\-py2-\-qy+r - 0. Tämä y. ratkaistaan
yleistämällä kolmannen asteen y:n ratkaisutapaa.
Sijoitetaan siihen y = u-\-v-\-w ja saadusta y:stä
määrätään uusien tuntemattomien u, v ja w arvot
tekemällä sen vasenpuolisen jäsenen kolme eri
osaa sopivalla tavalla = 0, jonka ohessa koko
y:nkin pitää toteutua. Uusista y:istä johtuu:
u2-\-v2-\-w2
p
2 >
u2v2-\-v2w2-\-u2w2 ■■
V —4r
16
ja
uv iv =—(u2v2w2 = -77 ). Jos tuntematonta siinä
o uJ/
y:ssä, jonka juurina ovat näitä y:itä toteuttavat
m2, v2 ja u? arvot, merkitään «:ksi saadaan
V
4:nnen asteen y:n resolventti:
z3-{-^z2-\-p2 — kr </2
—Jff~z—g/ = 0. Neljännen asteen y:n ratkaisu
on siis yksinkertaistunut 3:nnen asteen y:n
ratkaisuksi. Kun nyt. valitaan yhtälön u2 = Zi juu-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
