Serier — 152 — Serier kan också säga, att d, som benämnes seriens differens, utgör skillnaden mellan en godtycklig term och närmast föregående. Storheten a är seriens första term. Storheten u-a + fn—l)cZ är seriens sista term, om termantalet är n. Summan av serien S erhål-les av formeln a + u 2a + (n-Y)d S — n ■ - n ’----2-----* Ett annat slags serie är den geometriska a, ak, ak2, ............, akn~i, där en godtycklig term fås av den närmast föregående genom multiplikation med ett konstant tal, kvoten k. Man kan också säga, att k utgör förhållandet mellan en godtycklig term och närmast föregående ; a är seriens första term, n dess termantal och u = akn~^ dess sista term; summan S fås av formeln kn-\ S = a’~k^' Andra exempel på serier äro a0 + a±x + a2x2 +...+ a n_x x > den s. k. potensserien, där ao, Oi, .... äro vissa konstanta koefficienter och x vanligen en variabel samt n termantalet; sista eller n :te termen är u~an—i^’i—\Ett specialfall av potensserien är »bino-mialserien» n • (n—1) (1 + x)n = 1 + nx + •——x2 + n- (n—1) ■ (w-2) + ^+-- n (n—1) .... [n— (n—1) ] +--------------.-------• xn. n ! Hur termerna här bildas, var och en ur föregående, framgår av uppställningen. Serien är ändlig med (n + l) termer; n förutsättes t. v. vara ett pos. heltal, och x kan vara vilket tal som helst. S. kunna från en annan indel- ningssynpunkt grupperas i ändliga och oändliga, beroende på om termantalet är ändligt eller om det växer över varje gräns. De serier vi ovan betraktat äro ändliga. Om termantalet växer obegränsat, kan det hända, att seriesumman Sn närmar sig en bestämd, ändlig limes, som den kan komma hur nära som helst, om blott termantalet tages tillräckligt stort. Är denna limes 5, får man lim 5 n — Y. n—>oo Man säger då, att serien konvergerar. Finnes ingen sådan limes, divergerar serien. Vid divergens kan summan antingen växa över varje ändlig gräns (den går mot oändligheten!) såsom 1+2+3+4+ .................... eller bli obestämd, såsom 1-1+1-1+ .................... vilken series summa för obegränsat växande termantal blir 0, om termantalet är jämnt, men 1, om det är udda; någon bestämd gräns finns alltså ej heller i detta fall, och serien divergerar. Man kan bevisa, att varje oändlig aritm. serie divergerar och att vari» oändlig, geom. serie, där r ligger mellan -1 och + 1, konvergerar mot limesvärdet S = a ETT För k - 1 går serien mot oo, för Æ = -l blir summan obestämd (+ a för udda termantal, 0 för jämnt), för k större än + 1 eller k mindre än — 1 går seriesumman för oändligt växande termantal mot oändligheten. Man kan även bevisa, att binomialserien blir oändlig, då n utgör ett annat värde än ett helt pos. tal, och att serien då konvergerar för — 1 < x < + 1. — I allmänhet konvergerar en potens-serie för - 1< x < + 1, men vissa dylika serier, t. ex.