Euclidis Elementa / 16-17 (1844) Author: Euklides Translator: Per Reinhold Bråkenhielm Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
	Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Första Boken. XVII Proposition. Theorem - Första Boken. XVIII Proposition. Theorem - Första Boken. XIX. Proposition. Theorem - Första Boken. XX Proposition. Theorem

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>

Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

XVII Proposition. Theorem.

Uti hvar och en triangel äro tvänne vinklar
tillhopatagne mindre än tvänne räta, ehuru de tagas.



Uti triangeln ABC äro
vinklarna B och ACB tillhopa
mindre än tvänne räta.

Bevis. Drag ut sidan BC.
Vinkeln .... ACD > B ... 16 prop.
således äro ACD + ACB > B + ACB; 4 axiom.
men .. ACD + ACB > B + ACB = tvänne räta; 13 prop.
alltså äro B + ACB < tvänne räta h. s. b.

På lika sätt bevises, att A + BCA < tvänne räta;
och att A + B < tvänne räta, om sidan AB utdrages.


XVII Proposition. Theorem.

Uthi hvar och en triangel är den vinkel
större, som står emot en större sida.


Låt, uti triangeln ABC, sidan
AC > AB; så skall det bevisas, att vinkeln ABC > ACB.

Bevis. Gör AD = AB, sammanbind B och D.

Uti den likbenta triangeln
ABD äro vinklarne vid basen ABD = ADB; 5 prop.
men efter sidan CD, uti triangeln
CDB, är utdragen, så är .. ADB > C; 16 prop.
derföre är äfven ........... ABD > C, och således
hela vinkeln ABC ännu större än ACB, h. s. b.


XIX. Proposition. Theorem.

Uti hvar och en triangel är den sidan större,
som står emot en större vinkel,



Låt vinkeln A > C; så skall
det bevisas, att BC > AB.

Bevis. Ty BC kan ej vara
mindre än AB; emedan då
skulle vinkeln A < C, a, tvärtemot
hypothesen. Icke heller kan BC = AB;
emedan då skulle vinkeln A = C, b; hvilket äfven
strider emot hypothesen. Då således BC hvarken
kan vara mindre än, eller lika stor med AB; så måste
BC > AB, h. s. b.

a. 18 prop.
b. 5 prop.


XX Proposition. Theorem.

Uti hvar och en triangel äro tvänne sidor
tillsammantagna större än den tredje, ehuru de tagas.


Låt ABC vara en triangel; så skall det bevisas,
att AB + AC > BC.

Bevis. Drag ut AB, så att AD = AC;
sammanbind C och D.

Emedan således ADC är en likbent triangel,
så måste vinklarne vid basen ACD = D a;
och i följe deraf BCD > D. Emedan nu
BCD är en triangel, som har vinkeln
BCD > D; så måste sidan BD > BC, b; men BD

a. 5 prop.
b. 19 prop.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>