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Ett sannolikhetsproblem.
Af S. Levänen.
I ett arbete öfver sannolikhetskalkylen med titeln :
Traitë du Calcul des Probabitités par H. Laurent, Paris
1873, förekommer å sidan 134 följande problem:
Un bijoutier possède un diamant brut dont la valeur
est a francs; ön vient lui annoncer que le diamant est
cassé en deux morceaux; un amateur, present à ce moment,
lui propose d’acheter les deux morceaux; ön demande quel
prix il devra les lui faire payer, avant d’avoir comparé
leurs volumes?
Lösningen af detta problem, utsträckt äfven till den
händelse, att diamanten brustit i tre stycken, utför
författaren genom följande räsonnemang:
,J,On sait que le prix du diamant varie comme le carré
de son poids, ou, si Ton veut, de son volume et, si le fait
n’est pas très-exact, rien ne nous empèche de Tadmettre dans
le cas actuel. Prenons pour unité le volume total du
diamant primitif et soient x et y les volumes des morceaux, en
sorte que
(1) x+y = 1.
Les prix de ces morceaux seront respectivement ax2
et ay2 et, par suite, le prix du diamant brisé sera
a(æ2-f</2).
Or la probabilité que le volume du premier morceau
sera compris entre x et x-\-dx est dx\ 1’espérance
mathématique du bijoutier dans ce cas est
a[x2-\-y-)dx.
Si l’on fait la somme de toutes ces espérances pour
les valeurs de x comprises entre o et 1, ön aura le prix que
Ton devra équitablement payer le diamant brisé, à savoir:
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