Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
98
LØSTE OPGAVER.
Løste Opgaver.
94. Bevis, at Produktet af otte paa hinanden følgende hele
Tal ikke kan være et Kvadrattal.
Løsning.
Satsen förutsätter, att noll icke ingår bland talen. Ty om så
vara fallet, skulle talens produkt vara = o = o2.
Då vidare produkten av ett jämnt antal negativa tal är =
produkten av talens numeriska värden, kunna vi utan inskränkning
av undersökningens allmängiltighet betrakta endast produkten av
åtta konsekutiva positiva tal.
Av åtta konsekutiva tal are alltid fyra udda och fyra jämna.
Av de sistnämnda är alltid ett delbart med 8 = 23 eller högre
digniteter av 2, ett delbart med 4 men icke med 8 och två
del-bare med 2 men icke med 4. För att produkten skall vara ett
kvadrattal, måste sålunde ett av talen vara av formen 24+2x-^
= 42+x-ja, där ju är ett udda tal. Vi skola i det följande för
enkelhetens skull benämna detta tal principal t al e t. De øvrige
talen i serien äro då 42+x«|i + r (r ^ 7). Man har då,
för r - r± = 2n -f- i3
42+*-|U ±rl=-±r1 (mod 4),
för r = r2 - 2/2, n udda,
i(42+x-^± 2«)= + n (mod 4),
och för r = + 4,
é(4a+x-H±4)=+ i (mod 4).
I nedanstående tabell, som innehåller 3 rader og 15 kolumner,
intager principaltalet den med siffran 8 betecknade mittkolumnen.
A vardera sidan om mittkolumnen finnas sålunda sju kolumner,
av vilka de framför mittkolumnen befindtliga äro betecknade med
I
2
3
4
5
6
7
8
Q
IO
1 1
12
J3
M
’S
o
I
0
2
o
i
o
4 + 2X
o
I
o
2
o
i
o
+
+
-
-
+
-
_
M
+
+
-
+
+
-
siffrorna i till 7 och de efter mittkolumnen befindliga med siffrorna
Q til 15. Andra raden anger exponenterna för de digniteter av 2,
med vilka talen äro delbara (nollorna ange sålunda digniteten 2°
eller att talen äro udda). I tredje raden har med + eller -
angivits de efter bortdividing av samtlige digniteter av 2 återstående
udda faktorernes karakter av kvadratisk rest eller icke-rest modulo 4.
För att produkten skall vara ett kvadrattal fordras i första
rummet, att antalet icke-rester är eet jämnt tal. Om sålunde det
förste talet i serien börjar i någon av de fyra førsta kolumnerna,
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
