Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Om Cirkeln
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
218
Sjette Boken. Lemma 2.
Cirklars peripherier förhålla sig till hvarandra,
som deras radier.
Låt C c beteckna tvänne cirklars peripherier, och R,
r deras radier; så skall det bevisas, att
C:c:=R:r.
Bevis. Ty om man antager, att reguliera likformiga
månghörningar äro inskrifne uti cirk-klarna, så äro
deras omkretsar mindre, än cirk-lames; och om man
derföre kallar den ena månghörningens omkrets C-A,
och den andras c-a; så är uti Lemma l bevisadt, att
C-A:c-a = R:r.
Den inskrifna månghörningens omkrets närmar sig desto
mera till likhet med cirkelns peripheri, ju flera
sidor månghörningen har; sä att storheterna A och
a, eller skillnaderna imellan .månghörningarnes och
cirklarnes omkretsar, äro mindre for 16hörningen, än
för Shörningen, ännu mindre for 32hörningen; o. s. v.
Deremot måste förhållandet
C-A:c-a
förblifva alldeles oforändradt, ehvad antal sidor
månghörningarne än må hafva; emedan detta förhållande
alltid förblifver lika med förhållandet
R:r.
Men att förhållandet C-A:c-a skall förblifva
oför-ändradt, under det att storheterna A och a
på oändligt många sätt förändras, är uppenbarligen
omöjligt, utan att dessa storheter utgöra lika sto
Sjette Boken
219
ra delar, hvar och en af sin
peripheri; så att t. ex.
hvilket gifver
A c - . C och a c - . c ;
m m .
d. v. s. eller . .
C:c = R:r, h. s. b. ... 15 pr. 6
Lemma 3.
Arean af en cirkel är lika stor med producten af dess
peripheri och halfva radie.
Låt cirkelns area vara a, dess peripheri p, och radie
r, så skall det bevisas, att
p.r
a=V
Bevis. Antagom, att en regulier månghörning är
omskrifven omkring cirkeln, hvars radie således
blifver månghörningens apothém; och att denna
månghörnirigs omkrets, som måste vara större än
cirkelns peripheri, är p 4- m; samt att månghörningens
area, som äfven måste vara större än cirkelns area,
är a + n; så är, enl. ProbL 5,
och således:
a =: p-r+ ^i 22
-n
Men nu kan cirkelns area, a, alldeles icke vara
beroende af den omskrifna månghörningens area eller
omkrets, d. ve g. af storheterna T och
2
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
