Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
98
också genom andra nyligen publicerade funktionsteoretiska
undersökningar utaf den mest djupgående och
egendomliga karakter. Formeln har utseendet
u m, „, m0 „, m
v
ur i .... U™P
rn, m~... mp _ nh "i + mi "2 + - • • • + <*P
mi + »»2 + • • • • + >np
hvarvid ux u2. . . . up äro gifna qvantiteter, hvilkas
absoluta belopp är mindre än 1, och a2 • • ■ • äro arbiträra
konstanter. Om nu P betyder en konvex polygon, hvars
spetsar äro sådana punkter inom punktsystemet ctx «2 ■ . • ,
att de öfrig blifvande punkterna äro belägna inom
polygoner eller på dess sidor, så framställer det Poincaré’ska
uttrycket öfverallt utanföre polygonen P en viss entydig
analytisk funktion. Det finnes deremot ingen punkt innanföre
eller på konturen P, sådan att för någon huru liten
omgifning som helst af densamma detta uttryck kan sättas lika
med en konvergerande potensserie. Hä^f följer dock icke
utan vidare, att ej möjligen den analytiska funktion, hvilken
representeras af den Poincaré’ ska formeln utanföre
polygonen P, också skulle kunna existera innanföre denna polygon.
Den Wierstrass"\s,k& formel, hvilken jag nyss anförde,
representerar ju inom halfva planet den analytiska funktionen -j-1,
och denna funktion existerar också inom den andra hälften
af planet, oaktadt formeln då icke längre återger denna utan
i stället en annan analytisk funktion.
Uti en afhandling, hvilken tillskiekats mig af Herr
Poincaré, och hvilken jag härmed har äran anmäla till
intagande uti Societetens Akter, finner denna fråga en både
fullständig och skarpsinnig utredning. Herr Poincaré
uppvisar, huru hans ofvanberörda formel i sjelfva verket är ett
uttryck för en enda analytisk funktion, hvilken har
polygonen P till en verklig "espace lacunaire11 och han är
härigenom den förste, hvilken efter Weierstrass gifvit ett konkret
exempel på tillvaron af dylika funktioner. Herr Poincaré
undersöker äfven, och med den för Weierstrass egendom-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
